数值分析期末复习要点总结

数值分析

期末复习要点总结

第一章 误差一. 误差的来源: 1.模型误差

2.观测误差3.截断误差 4.舍入误差 二. 绝对误差、相对误差和有效数字2

第一章 误差

绝对误差、相对误差和有效数字

定义1 设 x 为准确值x的一个近似值，称*

e( x ) x x*

*

(1-1)

为近似值 若 通常称 定义2

x 的绝对误差，简称误差.

*

e( x ) x x * *

(1-2)

x * 的绝对误差限，简称误差限. 为近似值设x*

称绝对误差与 为准确值 x 的近似值，

准确值之比为近似值即

e x * x x * er x* x x

x

*

er ( x* ) 记为 的相对误差，

(1-3)3

绝对误差、相对误差和有效数字

由于在计算过程中准确值 x 总是未知的， 故一般取相对误差为

e x * x x * er x* * * x x*

如果存在正数 r 使得*

e x er x * x r为 x * 的相对误差限. 则称

r

(1-4)4

绝对误差、相对误差和有效数字

有效数字

x * 的误差限是 1 10 n 则称* x 如果近似值 2准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.

x 例如， 2 1.414213562 , 取前四位数得x* 1.414. 取前八位数得近似值1 2 1.414 10 3 , 2x* 1.4142136 1 2 1.4142136 10 7 2

1.414有4位有效数字. 1.4142136有8位有效数字.5

绝对误差、相对误差和有效数字

x * 的规格化形式为 一般地，如果近似值

x * 0.a1 a 2 a n 10 m如果

(1-5)

a 其中m为整数， 1 0, ai i 1,2, 为0到9之间的整数.1 x x 10 m n 2 则称近似值 x * 有n位有效数字.*

(1-6)

例如

x 1.414 0.1414 10 . 1 1 3 2 1.414 10 101 4 2 2* 1*6

故 x 1.414 有4位有效数字.

绝对误差、相对误差和有效数字

定理1.1 若x的近似值

x 0.a1a2 an 10 ,* m

1 10 n 1 为其相对 则 (a1 0) 有n位有效数字， 2a1

误差限. 反之，若 x 的相对误差 r 满足*

1 n 1 r 10 2 a1 1 则 x 至少具有n位有效数字.*

7

例

设近似数 a 1.557 是某真值 x 经四舍五入

所得, 试求其绝对误差限和相对误差限.解 由于a经四舍五入得到,故e (a ) 1 10 3 2e (a ) a

er (a )

1 10 3 2 1.577

3.170577 10 49

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数值计算中误差的传播

6 的近似值的相对误差限小于0.1%,应取 例2: 要使 取几位有效数字解: 2

6 3,

6 的首位数是2, a1 2即

设近似数

x

*

有n位有效数字,只须取n使

1 10 n 1 0.1% 2a1

1 10 n 1 0.1% 2 2

10

n 1

10 , 0.4%, 10 0.4%n

10 n lg 3.3979 0.4%11

取n=4, 即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.11

数

值计算中的一些原则 1.避免两个相近的数相减

2.避免大数“吃”小数的现象3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 4.要简化计算，减少运算次数，提高效率 5. 要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播 例如 为提高数值计算精度, 当正数x充分大时,应将 2 2 x 1 2 x 1 改写为 2x 1 2x 1( 2 x 1 2 x 1)( 2 x 1 2 x 1) 2x 1 2x 1

2 2x 1 2x 1

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第二章插值插值区间已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点

a x0 < x 1 < · < xn b · · 处的函数值为 y0 = f(x0),… ,yn = f(xn)如果存在一个简单易算的函数 P(x),使得

插值节点

P(xi) = f(xi),i = 1, 2, ... , n则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数 插值条件

插值节点无需递 增排列，但必须 确保互不相同！14

求插值函数 P(x) 的方法就称为插值法

基函数法记

n+1 维线性空间

Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体}

设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式

P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · anzn(x) ·+通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法

基函数法基本步骤① 寻找合适的基函数 ② 确定插值多项式在这组基下的表示系数15

Lagrange插值Lagrange插值基函数设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足

1, lk ( x j ) 0,

j k j k

则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数16

线性与抛物线插值两种特殊情形n=1x x0 x x1 L1 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0线性插值多项式(一次插值多项式)

n=2( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )17 抛物线插值多项式(二次插值多项式)

例：已知函数 y = lnx 的函数值如下x lnx0.4 -0.9163 0.5 -0.6931 0.6 -0.5108 0.7 -0.3567 0.8 -0.2231

试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值

解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 0.1823 x 1.6046 x0 x1 x1 x0将 x=0.54 代入可得： ln 0.54 L (0.54) =-0.6202 118

抛物线插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得 ln 0.54 L2(0.54) =-0.6153

ln 0.54 的精确值为：-0.616186·· ·可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。19