3.1 一维连续型随机变量及其分布
时间：2026-01-21
概率论与数理统计
第三章
连续型随机变量
概率论与数理统计
第三章 3.1 一维连续型随机变量及其分布 一维连续型随机变量及其分布 连续型 3.1.1、 3.1.1、一维概率密度 3.1.2、 3.1.2、一维连续型分布函数
概率论与数理统计
3.1.1 一维概率密 度 对于r.v. X,若存在非负可积函数 ， 非负可积函数f(x), 定义 对于 ，若存在非负可积函数 (-∞<x<+∞),使对任意实数 ，b(a<b),都有 ∞ ∞ ,使对任意实数a, ,b
P ( a < X ≤ b )= ∫ f ( x ) d xa
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， f(x)为X的概率 为 的 密度函数，简称概率密度 密度函数 概率密度或 函数. 密度函数，简称概率密度或密度函数 常记为X~ 常记为 ~ f(x) , (-∞<x<+∞) ∞ ∞
概率论与数理统计
密度函数的几何意义为 密度函数的几何意义为 几何意义
P ( a < X ≤ b )= ∫ f ( x ) dxa
b
轴所围成的曲边梯形面积。 即 y=f(x),x=a,y=b,x轴所围成的曲边梯形面积。 轴所围成的曲边梯形面积
概率论与数理统计
f (x)
密度函数的性质(1) 非负性 (2) 归一性 f(x)≥0,(-∞<x<∞); ≥ , ∞ ∞;
10 x
∫
+∞
∞
f ( x ) dx=1 .
注：1. 性质 、(2)是密度函数的充要性质； 性质(1)、 是密度函数的充要性质； 是密度函数的充要性质
2.密度函数并不唯一；
概率论与数理统计
3.连续型随机变量取单个值的概率为零 连续型随机变量取单个值的概率为零 连续型随机变量取单个值0 ≤ P ( X = c ) ≤ P (c h < X ≤ c ) = ∫c c h
f ( x)dx
h→0 ,
+
∫
c
c h
f ( x)dx → 0,
即得P(X=c)=0。 。 即得
4.对任意实数 4.对任意实数c,若X~ f(x) ,(-∞<x<∞),则 P{X=c}=0。于是
P{a < X < b} P{a ≤ X < b} = =P{a ≤ X ≤ b} ∫ f (x)dx =a b
推广到一般，有定理 推广到一般，有定理3.1.1
概率论与数理统计
是连续型随机变量， 例：设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 c 4 x 2 x 2 f (x ) = 0
(
)
0< x<2 其它
求：⑴.常数
. c ; ⑵. P {X > 1}
解： ⑴.由密度函数的性质
∫2 0
+∞
∞
f ( x ) dx = 1+∞
得 1= ∫2
+∞
∞
f ( x ) dx =
∞
∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx2
0
8 2 2 3 = ∫ c(4 x 2 x 2 )dx= c 2 x x = c 3 3 0 0 3 所以， c= 8
2
概率论与数理统计
⑵.P{X > 1} =
+∞
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx1 1 2
2
+∞
=∫
2
1
3 2 ( 4 x 2 x ) dx 82
3 2 2 3 = 2x x 8 3 11 = 2
概率论与数理统计
3.1.2 一维连续型分布函数是连续型随机变量， 若X是连续型随机变量，其概率密度函数为 是连续型随机变量 其概率密度函数为f(x),则X , 的分布函数为x
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫
∞
f (t ) dt ,
∞ < x < +∞
P(a < X ≤ b) = F (b) F (a) = ∫ f ( x)dxa
b
概率论与数理统计
可以不连续， 注：尽管密度函数f(x)可以不连续，但对连续型随机变 尽管密度函数 可以不连续 量而言，分布函数F(x)一定是
连续并唯一的。 一定是连续并唯一的 量而言，分布函数 一定是连续并唯一 定理： 随机变量X的分布函数为F(x), 定理：设随机变量X的分布函数为F( ),密度函数 F( ),密度函数 的连续点， 为f(x),若x是f(x)的连续点，则 若 是 的连续点
dF ( x ) = f (x) dx
概率论与数理统计
若f(x)在x0处连续，则有 F ′( x) x = x = f ( x0 ) 在 处连续，0
结合 分布 函数 来看 f(x)在x0处连续，且 h充分小时,有 在 处连续， 充分小时, 充分小时P ( x0 < X ≤ x0 + h) ≈ f ( x0 ) h
类似 于线 密度
P ( x0 < X ≤ x0 + h) = ∫f ( x0 ) ≈
x 0 + h
P( x0 < X ≤ x0 + h) h
x0
f ( x)dx ≈ f ( x0 ) h
f(x)称为概率密度的原由。 称为概率密度的原由。
概率论与数理统计
例： 设随机变量 X 的密度函数为
0 ≤ x <1 x f ( x ) = 2 x 1 ≤ x < 2 0 其它
试求 X 的分布函数.
解：
当 x < 0 时，F ( x ) =
当 0 ≤ x < 1时，F ( x ) =x
∞
∫ f (t )dt ∞
x
=0 ∞
∫
x
f (t )dt =
∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt0
0
x
= ∫ tdt0
x2 = 2
概率论与数理统计
当1 < x < 2 时，F ( x ) = ∫0
x
∞
f ( t ) dt1 x
=
1 2 = ∫ tdt + ∫ (2 t )dt = x + 2 x 1 2 0 1当x ≥ 2 时，F ( x ) = ∞
∞ 1
∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt0 1
x
∫ f (t )dt1 2
x
=
= ∫ tdt + ∫ (2 t )dt0 1
∞ 1
∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt0 2 1 2
0
x
=1
概率论与数理统计
综上所述，可得随机变量 X 的分布函数
F (x ) = 2 x 2
0 2 x 2 1
x≤0 0 < x ≤1
+ 2x 1 1 < x < 2 2≤ x
概率论与数理统计
例: 设r.v. X的分布函数 的分布函数 1 x 2 e , ∞ < x < 0, 1 π F ( x ) = A sin x + ,0 ≤ x < , 2 2 π 1, x ≥ 2 .
的值；( 求：(1)A的值；( )概率 ：( ) 的值；(2)概率P(-2<X<1); 的密度函数。 (3)X的密度函数。 ) 的密度函数
3.1 一维连续型随机变量及其分布.doc
将本文的Word文档下载到电脑
上一篇：监理公司规章制度
下一篇：数值分析期末复习要点总结
