第12章 动量矩定理习题答案

第12章 动量矩定理

12-1 质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为：

x acos t

y bsin2 t

式中a、b和 为常量。求质点对原点O的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度

dx

a sin tdt

dyvy 2b cos2 t

dtvx

质点对点O的动量矩为

LO MO(mvx) M0(mvy) mvx y mvy x

m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t

cos3 t 2mab

12-3 如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若vA 、 已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B点为速度瞬心。

轮子角速度 质心C的速度

vA

R

vC

vA

(R e) R

轮子的动量

对B点动量矩

p mvC

R e

mvA（方向水平向右） R

LB JB

JB JC m (R e)2 JA me2 m (R e)2

22vA

故 LB JA me m (R e)

R

由于

（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C点速度。

vC vA vCA vA e

轮子动量 p mvC m(vA e) （方向向右）

对B点动量矩

LB mvCBC JC m (vA e) (R e) (JA me2) mvA(R e) (JA mR e)

12-5 图示水平圆板可绕z轴转动。在圆板上有一质点M作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v0，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆板的位置由 角确定，如图所示。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远在点M0时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与 角的关系。 解：以圆板和质点M为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束反力），对z轴的矩均为零，故系统对z轴动量矩守恒。在任意时刻M点的速度包含相对速度v0和牵连速度ve。其中ve OM 。设质点M在M0 位置为起始位置，该瞬时系统对z轴的动量矩为

108

Lz1 mv0(l r)

在任意时刻：

Lz2 J Mz(mvM)

J Mz(mv0) Mz(mve)

由图（a）可看出 Lz2 J mv0 lcos r m(l2 r2 2lrcos ) 根据动量矩守恒定律 代入解得

Lz1 Lz2 mlv0(1 cos )

22

J m (l r 2lrcos )

12-7 图示两带轮的半径为R1和R2，其质量各为m1和m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为M 的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。

解：分别取两皮带轮为研究对象，其受力分析如图所示，其中T1 T1,T2 T2。以顺时针转向为正，分别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有

J1 1 M (T1 T2)R1 (1)

J2 2 (T1 T2)R2 M (2)

将 T1 T1, T2 T2, 1: 2 R2:R1

RM 1M

R2

代入式（1）、（2），联立解得 1 2

R1

J1 J22

R2

mm22

J1 1R1，J2 2R2 式中

222(R2M R1M ) 1 2

(m1 m2)R2R1

12-9 图示通风机的转动部分以初角速度 0绕中心轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，即M k ，其中k为常数。如转动部分对其轴的转动惯量为J，问经过多少时间其转动角速度减少为初角速度的一半？又在此时间内共转过多少转？

109

解：以通风机的转动部分为研究对象，应用动量矩定理得 把 M k 代入后，分离变量

d

(J ) M dt

J

d

kdt

o

上式积分

2J

d

0

t

kdt

0

解得

t

再对式（1）积分，将等式左边积分上限改为 ，得

J

1n2 k

d tJ 0 0 kdt

解得

0e

k

tJ

td

即 0eJ

dt

k ktttJ

故 0eJdt 0(1 eJ)

0k

J 0J

(1 e 1n2) 把 t 1n2代入，得

kk

J 01

e 1n2 所以 由于

22k

J 0

N 最后得转动部分共转过圈数

2π4πk

k

12-11 均质圆轮A质量为m1，半径为r1，以角速度 绕杆OA的A端转动，此时将轮放置在质量为m2的另一均质圆轮B上，其半径为r2，如图所示。轮B原为静止，但可绕其中心自由转动。放置后，轮A的重量由轮B支持。略去轴承的摩擦和杆OA的重量，并设两轮间的摩擦系数为f。问自轮A放在轮B上到两轮间没有相对滑动为止，经过多少时间？ 解：分别取轮A、B为研究对象，其受力和运动分析如图（a）及（b）所示，根据刚体绕定轴转动的微分方程式，对A、B轮分别有

d A

Fr1dt

d BJ2 F r2

dtJ1

分离变量并积分

1 J1 d A Fr1 dt

0

J2 2d B F r2 dt

0

得到

J1 1 J1 Fr1t

J2 2 F r2t

由题意知 1: 2 r2:r1，将其代入以上两式，联立求解得

110

J1 Fr1tJ1r2

F r2tJ2r1

m1r12m2r22

,J2 ,F F FN fm1g。代入上式解得 注意到 J1 22

r1

t

m1

2fg(1 )

m2

12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm，无初速地沿倾角 20 的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面 …… 此处隐藏：3342字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……