[高等数学电子讲义]3积分上限函数[严钦容,2010版]

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院高等数学·第五章

定积分及其应用

8. 广义积分14. 典型例题回顾

9. 定积分应用的元素法10. 平面图形的面积11. 空间立体的体积12. 平面曲线的弧长13. 定积分的物理应用2. 定积分的定义

3. 定积分的性质

1. 问题的背景

5. 微积分基本定理

4. 变上限函数

6. 定积分换元积分法

7. 定积分分部积分法[严钦容的电子讲义]

♋高等数学•第五章定积分及其应用

[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院x O 4. 变上限函数

y

)

(x f y =a b x ],,[)(b a C x f ∈设],,[b a x ∈∀,)(⎰x

a dx x f 上的定积分],[x a .],[的函数确定了一个定义域为

b a ].

,[b a x ∈∀,)()(⎰=x a t d t f x Φ,)t d

t [定理1]证],,[)(b a C x f ∈设上可导且

在则],[)()(b a t d t f x x a ⎰=Φ).()()()(b x a x f t d t f dx

d x x a ≤≤=='⎰Φ),,(b a x ∈∀),,(b a x x x ∈+∆∆使得取则

)()(x x x Φ∆Φ∆Φ-+=⎰⎰+-=x x a

x a dt t f dt t f ∆)()(⎰+=x x x

dt t f ∆)(,)(x x x f ∆∆θ+=.10≤≤θ其中

♋高等数学•第五章定积分及其应用

[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院[定理1]证],,[)(b a C x f ∈设上可导且

在则],[)()(b a t d t f x x a ⎰=Φ).()()()(b x a x f t d t f dx

d x x a ≤≤=='⎰Φ),,(b a x ∈∀),,(b a x x x ∈+∆∆使得取则

)()(x x x Φ∆Φ∆Φ-+=⎰⎰+-=x x a

x a dt t f dt t f ∆)()(⎰+=x x x

dt t f ∆)(,)(x x x f ∆∆θ+=.

10≤≤θ其中,于是x

x ∆∆Φ∆0lim →)(lim 0x x f x ∆θ∆+=→).(x f =,a x =对点,0>x ∆取)(lim )(0x a f a x ∆θΦ∆+='+

→+).(a f =,b x =对点,0<x ∆取)(lim )(0x b f b x ∆θΦ∆+='-

→-).(b f = 4 变上限函数

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[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院[定理1]],,[)(b a C x f ∈设上可导且

在则],[)()(b a t d t f x x a ⎰=Φ).()()()(b x a x f t d t f dx

d x x a ≤≤=='⎰Φ[定理2] (原函数存在定理)

],,[)(b a C x f ∈设上的一个在是则],[)()()(b a x f dt t f x x a ⎰=Φ.

原函数 4 变上限函数

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院例1.

)(02的极值求函数t d e t x I x t ⎰-=解且

内可导在显然,),()(,02+∞-∞=⎰-dt te x I x t .

)()(220x x t xe dt te x I --='='⎰.

0)(0)(2==='-x x I xe x I x 的驻点得令,0)(,0;0)(,0<'<>'>x I x x I x 时当时当的是所以)(0x I x =,极小值点.

0)0(=I 且极小值为 4 变上限函数

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院例2:

求极限解.)(sin lim 002/302⎰⎰-+→x x x dt

t t t dt t =原式+→0lim x )(sin x x x --x x 2)(2

/32⋅)sin (2lim 40x x x x x -=+→x x x x sin lim 230-=+→x x x cos 1lim 62

0-=+→2/lim 622

0x x x +

→=.12=)()]([)()]([)()()(x x f x x f t d t f dx

d x x ψψϕϕψϕ'-'=⎰ 4 变上限函数

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院例3⎰-==x t dt e y x f y arctan 0.

)0,0()(2处切线相同在点与设两曲线).2(lim n

nf n ∞→求此切线方程并求极限解⎰-=x t dt e y arctan 0)0,0(2处切线的斜率为

在点曲线0='=x y k ⎰=-=x x t dt e dx d arctan 00][202)(arctan ]11[2

=-+⋅=x x x e ,1=.

x y =于是所求切线方程为)2(lim n nf n ∞→n

f n f n /2)0()/2(lim 2-=∞→)0(2f '=.2=,1)0(,0)0(,='=f f 由题设从而

2002考研题4 变上限函数

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院⎰-=x dt

t f x t x F 0)()2()(证明

内可导且在设.0)(),0()(>'+∞x f x f 例4.

0)(),0(>''+∞x F 内二阶可导且在证⎰-=x dt t f x t x F 0)()2()(.

)()(200⎰⎰-=x x dt t f x dt t tf )(2)(x xf x F =',)()(0⎰-=x

dt t f x xf )()()()(x f x f x x f x F -'+=''求导得再次求导得

),

(x f x '=.0)()(),0(>'=''+∞x f x x F 内从而在)]()([0x xf dt t f x +-⎰ 4 变上限函数

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院⎰⎰=x x dt

t f dt t tf x F 00)()()(证明

内连续且在设.0)(),0[)(>+∞x f x f 例5.),0(内单调增加在+∞证⎰⎰⎰-='x x

x dt t f dt

t tf x f dt t f x xf x F 0200])([)()()()()(⎰⎰⎰-=x x x dt t tf dt t f x dt t f x f 0002

])()([])([)(.)()(])([)(002⎰⎰-=x x dt t f t x dt t f x f 4 变上限函数内可导且

在),0()(+∞x F )(x G =0)()(0>='⎰x

dt t f x G 单增

在),0[)(+∞x G 0

)0()(0=>⇒>G x G x

♋高等数学•第五章定积分及其应用[2010-2011-1]2010级·高数6班湖北汽车工业学院⎰⎰=x x

dt

t f dt t f t x F 00)()()(证明

内连续且在设.0)(),0[)(>+∞x f x f 例5.),0(内单调增加在+∞证.)()(]

)([)()(002⎰⎰-='x x dt t f t x dt t f x f x F 于是,0)()(]

)([)()(002>-='⎰⎰x x dt t f t x dt t f x f x F .),0()(内单调增加在从而+∞x F ,),0(时当+∞∈x ,0x t ≤≤由于所以

,0)()(≥-t f t x ,

0)()(≡/-x f t x 4 变上限函数内可导且

在),0()(+∞x F

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