滤波反投影图像重建算法分析及MATLAB现实

滤波反投影图像重建算法分析及 MATLAB现实朱立平 林志英

图像重建是 CT技术的一个研究热点。重建算法的现实是对算法研究的一个重要环节。由 Math Works公司推出的 MATLAB工具软件具有强大的数学计算和图像处理功能，并为算法提供了一个方便有效的研究和实现的平台。本文在图像重建分析的基础上，运用 MATLAB实现了基于扇束的滤波反投影重建算法的计算机模拟。

引言图像重建技术在诸多领域中发挥着重要作用，在重建算法的研究和实现过程中，存在着是一系列极其复杂的图像处理问题和数学计算问题。由 Math Works公司推出的 Matlab工具软件具有强大的数学计算和图像处理功能，运用该软件进行图像重建可使编程的工作量大大减小。本文所述的是在 Matlab环境下进行滤波反投影重建算法的实现过程。(a)等角射线型图 2 扇束投影的两种类型 (b)等距射线型

图像重建基本原理图像重建算法的基础是 Fourier中心切片定理，也称投影定理。其具体含义是：待重建图像 f (x,y)在角度θ得到的投影函数 pθ(t)的一维傅利叶变换，等于在同一角度下进行的二维傅利叶变换的一条直线。如图 1所示，其中 t为投影值与中心射线的距离。

线 SF与 y轴的夹角，γ为射线间夹角。针对扇束中的某一射线 SA,若视 A点的投影数据是沿着平行射线产生的话，则投影值应是由θ和 t确定的 pθ(t)的值。利用 (β,γ)和 (θ,t)的关系，借助平行投影的重建算法推导出扇束投影的重建算法。基于平行束的图像重建算法主要分为三步：①对某θ角度下的投影 pθ(t)作一维傅立叶变换，记为 Sθ(ω); (式 1-1)②将①的变换结果乘上一维权重因子，并对加权结果，作一维傅利叶反变换，记为 Qθ(t)——即：加权滤波处理； (式 1-2)③将②中滤波后的投影进行反投影计算，得到断层图像 f(x,y)。 (式 1-3)由图 3所示，PQ垂直于 SA,且 OB长度为 t,则有：θ=β+γ和 r= Dsinγ (式 1-4)

图 1 中心切片定理图解

根据图像重建理论，并由平行束重建公式推导出扇束重建公式， (式 1-5)由图 4所示，公式可化简为： (式 1-6)其中： (式 1-7)

基于扇束滤波反投影算法分析根据探测器安放的方式，扇束投影又分等角射线型和等距射线型。等角射线型的探测器安置在以扇束顶点为中心的圆弧上，并以等弧排列，如图 2(a)所示；等距射线型的探测器以等间距方式安置在一条直线上，如图 2(b)所示。本文只讨论等角射线型的情况。设 Rβ(γ)表示某一扇束投影，如图 3(a)所示，其中β为中心射

08/ 2013/ China Computer&Communication

131

Dat

a Base

数据库

(式 1-10) 4.滤波运算为了避免卷绕误差，需将修正的投影 Rβi(nγ)序列后添零延拓成长度不小于(2N-1)的序列 R''βi(nγ)。滤波计算的离散化公式为： (式 1-5)在 Matlab库函数中，选用快速离散傅利叶变换函数 fft、快速离散反傅利叶变换函数 ifft及窗函数(如汉明窗)。 5.加权反投影运算图 3 等角扇束投影重建算法推导参数图解图 4 象素点几何图示

重建图像是由每个滤波投影 Qβi(γ' )的反投影组合而成，Qβi(γ' )是对应于βi的滤波投影，位于与中心射线夹角为γ'的射线上所有点 (x,y)的值均等于 Qβi(γ),但通过计算得出的γ'的值并非正好为 nγ,因此，与γ'相对应的 Qβi(γ' )需用适当的插值方法求得，如：线性插值。反投影的离散化公式为： (式 1-6)由(式 1-6)可知，在反投影计算过程中，需要计算出两个关键的数据：①每一个像素点 C(x,y)与射线源 S之间的距离 L②穿过每一个像素点 C(x,y)的射线与中心射线 SA的夹角由图 4所示，对于某βi,计算出 (x0,y0)即：x0=Dsin(βi),y0=Dcos(βi),则 L2=(x0+x)2+(y0-y)2,γ'=arctany0 yπ ( βi )。 2 x0+ x

由于数字图像处理的离散化特点，在图像重建实现的过程中，需将上将公式转化成离散化形式。

扇束重建算法的计算机现实1.模拟产生投影值在 Matlab环境中，利用 phantom函数和 fanbeam函数，创建 N×N的 Sheep Logan头模型图像(如图 5所示)及其扇束的投影数据(如图 6所示)。主要代码如下： N=128; f=phantom(N); figure,imshow(f); D=250; dgama=0.3; r=fanbeam(f,D,'FanSensorSpacing',dgama); figure,imshow(r,[]);

最后，利用 Matlab库函数 interp2进行插值，完成图像的重建过程。按照上述算法，采用 D=250,γ=0.3,γ=30,βm=360的重建效果如图 7所示。

图 7 重建效果图

总结图 5 128×128的 Sheep Logan头模型图像图 6 扇束射角增量为 0.3°投影值

本文在分析基于扇束滤波反投影算法的基础上，详细介绍了该算法“模拟产生投影数据——修正投影——加权滤波——反投影重建”整个计算机现实过程，并充分利用 Matlab强大的图像处理功能，无需大量的编程，现实了图像重建算法的计算机模拟。Matlab作为一种高效的工程计算语言，它从本质上提供了对图像的支持，使用它可以对数字图像形成的离散数据矩阵进行一次性的处理，较其他高级语言有着明显的优势。(北京联合大学电子信息技术实验实训基地)

2.选取滤波函数，并离散化处理，如：R-L滤波函数，则离散化形式为： (式 1-8)其中：

(式 1-9)作者简介：朱立平(1971 -

),女，北京人，讲师，硕士，主要

3.修正投影值对于某β角的投影数据 Rβi(nγ)进行修正，记为：R'βi(nγ)。

研究方向：计算机应用，图像处理；林志英(1970— ),女，北京人，讲师，硕士， …… 此处隐藏：554字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……