二次函数图像性质及其应用【精讲】

二次函数图象 性质及应用

一、考点扫描

1、理解二次函数的概念：y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 2

b4ac b2b2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标( ,)、对称轴x 和开口2a2a4a

方向，会用描点法画二次函数的图象；

3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数

y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4、会用待定系数法求二次函数的解析式；

5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

刹车距离 6、二次函数应用 何时获得最大利润

最大面积是多少

二、考点训练

1、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（ ）

A．（-1，3）B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）

2、（2006年南充市）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则y的最值是（ ）

A．最大值-4 B．最小值-4

C．最大值-3 D．最小值-3

3、二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0； ③b-4ac>0，其中正确的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4、（2006年常德市）根据下列表格中二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数值y 的对应值，判断方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）

2222

A．C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20

三、例题剖析

5、如图，在坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．

6、（06年长春市）如图，P为抛物线y=34x2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．

四、综合应用

7、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

8、（06年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2+k 的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．

9、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数． 有研究表明，晴天在某段公路上行

2驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=1V确定；雨天行驶时，这一公式为S=1V2．如

10050

果车行驶的速度是60km/h， 那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．

10、（06年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M， 分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

11、（2012 重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量

y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份

，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系x之间满足函数关系式：

式：

费用均为1.5元． ；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．

（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）