请关注新浪微博@金榜图书官方微博 ！

练习题三

一、填空题 1．【详解】

1

e y| f(x,y)dxdy A e 2xdx e ydy A e 2x|00 002

A 1 2

得常数A=2 .

2 4 1

P{X 2,Y 1} 2 e 2xdx e ydy e 2x|0 e y|1= (1 e )(1 e). 0

21

00

2.

因此 1,3. y 3,

3.且 P (由X与Y如果常数a P(A∪B)=1，与题意不符; 因此可以判定a [1, 3 ), 此时，

P(A∪B)=

解得a

a 1a 1a 1a 1a 1a 17

1 (1 1 (1 , 2222229

57

或a 33

4．【详解】X的分布函数

0,

F(x) = F(x, + ) x,

1,

x 0,0 x 1, x 1.

13

概率论与数理统计辅导讲义练习题详解

120

5．【详解】 P{X+Y 1}

1

20

dx

1 xx

6xdy (6x 12x)dx (3x 4x)|

120

223

1. 4

二、选择题 1．【详解】由X和Y相互独立知，

P{X=Y}= P{X=0, Y=0} +P{X=1, Y=1}

= P{X=0}P{Y=0} +P{X=1}P{Y=1}

11111 22222

因此选（C）.

2．【详解】 P

1} 由P{XY=0}=1 P{X= 又 因此 P{X=

3．【详解】于是

α=P{X=

故选(B) .

方法即α=2 β，只有（B）符合题意 .

4．【详解】Z X,Y}，且X与Y相互独立，因此

FZ ( z )= z }= P{ min(X ,Y) z }=1 P{ min(X , Y) > z }=1 P{X>z , Y > z }

=1 P{ X > z } P{Y > z }=1 [1 FX(z)][1 FY(z)] .

所以选（D）.

5．【详解】由全概率公式、X与Y相互独立得

FX+Y ( z )= P{X+Y z }=

P{X Y z|Y k}P{Y k}

k 0

n

14

请关注新浪微博@金榜图书官方微博 ！

=

n

n

P{X z k|Y k}P{Y k} P{X z k}P{Y k}

k 0n

k 0

Cnkpk(1 p)n k (z k).

k 0

其中Φ(x)为标准正态分布函数，显然连续，因此，X+Y的分布函数也连续. 选（A）.

三、解答题 1．【详解】（1）放回抽样: 此时X1, X2相互独立同分布,

P{ X1 =0 }= P{ X2 =0 }=

5

1

, P{ X1 =1 }= P{ X2 =1 }=, (X1, X2)

（2P{ X1P{ X1P{ X1故(X1, X2)

2．【详解】（1）

f(x,y)dxdy k dy (6 x y)dx k (10 2y)dy

2

2

24

424

= k (10 y y|2) = 8.

15

概率论与数理统计辅导讲义练习题详解

因此 k

1. 8

213dy(6 x y)dx 208

1315 (10 2y)dy (10y y2|3) . 228883

（2） P{X 2,Y 3}

dy

2

f(x,y)dx

3

(3) P{X }

2

32

dx

413

f(x,y)dy 2dx (6 x y)dy

280

3

13127222 (6 2x)dx=(6x x)|0) .

80832

（4） P{

3． 【详解】（1因此 c

4c

=1，

21

21

4

（2）当x < 当 1 x

即 当y < 0, 或y当 0 y 1时, fY(y)

21275

f(x,y)dx xydx y2,

42

y 1,

因此 Y(

其他.

1

, 1 x 1,0 y 1,

4． 【详解】由题设知 f(x,y) 2

其他. 0,

16

请关注新浪微博@金榜图书官方微博 ！

FZ ( z )= P{Z z }=P{

因此, 当0 z

1

时，FZ ( z )= 3

y z3x

Y

z}, 3X

13

f(x,y)dxdy z,

24

111

f(x,y)dxdy (2 1 .

26z12z

当z

1

时， FZ ( z )= 3

y z3x

同理可得，当

113 z 0时， FZ(z) z, 32411

当z 时， FZ(z) .

312z

于是Z

【注】当z >0当z <0

5． 【详解】 , X2, X3, X4

P{X= P{X= P{X=X的分布律为:

6． 【详解】 (X,Y)的联合分布函数 F(x, y) = 当x <0或者 y<0时， F(x , y)= 0; 当0 x<1且0 y<1时，F(x, y) = 当0 x<1且y 1时， F(x, y) =

XP 101

.

0.13440.73120.1344

x

y

f(u,v)dudv, 因此

x

y

x

xy

y

f(u,v)dudv 2udu 2vdv x2y2;

f(u,v)dudv 2udu 2vdv x2;

x1

17

概率论与数理统计辅导讲义练习题详解

1

y

当x 1且0 y<1时， F(x, y) =

xy

f(u,v)dudv 2udu 2vdv y2;

当x 1且y 1时， F(x, y) = 1 .

x 0或y 0, 0,

22

xy,0 x 1,0 y 1,

综上得(X,Y)的联合分布函数 F(x,y) x2,0 x 1,y 1,

y2,0 y 1,x 1,

x 1,y 1. 1

7．【详解】（1）由

f(x,y)dxdy

k x(1 y)xedxdy

002

从而得k= 2.

（2）由（1当 x 0 时, f当 x>0 时, 因此 f当 y 0 时, f当 y>0 时, f x(1 y)

dx] y 0,y 0.

1

, 2

因此 fY(y) (1 y)

0,

e x

,x 0,y 0, 2

（3）由（2）知 fX (x) fY (y) = (y 1) f (x, y) . 因此X与Y不相互独立.

0,其他.

18