高考数学一轮复习必备第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题(2)

课题：轨迹问题（2）

一．复习目标：

1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；

2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．

二．知识要点：

1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动

导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关

系并化为00

(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地

选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()

x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．

三．课前预习：

1．已知椭圆116

252

2=+y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP 的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ）

()A 14875)6(22=+-y x ()B 148

75)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(2

2=++y x 2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）

()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线

3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是（ B ）

()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线

4．双曲线22

143

x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22

(2)(2)143

y x ---= 5．倾斜角为4π的直线交椭圆14

22

=+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方

程是40(||5

x y x +=<

四．例题分析：

例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程． 解：（一）直接法：设OQ 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则

0CP OQ ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211()(01)24

x y x -+=<≤ （二）定义法：∵090OPC ∠=，动点P 在以1(,0)2

M 为圆心，OC 为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24

x y x -+=<≤ （三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则： 122121x x x k +==+，21k y kx k ==+ 消去k 得2211()(01)24

x y x -+=<≤ 例2．求过点(1,2)A ，离心率为12

，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．

解：设椭圆下方的焦点

00(,)F x y 由定义||122

AF =，∴||1AF =，即点F 的轨迹方程是2200(1)(2)1x y -+-=， 又003,2x x y y ==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12

x y -+-=. 例3．设椭圆方程为142

2=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O

是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)2

1,21(，当l 绕点M 旋转时，求：

（1）动点P 的轨迹方程；

（2）||NP 的最小值与最大值.

（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组 ⎪⎩

⎪⎨⎧=++=1412

2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x

解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以

,14212

1

=+y x ④ .142222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(4

122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x ①

②

当21x x ≠时，有.0)(412

1212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.

1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧

当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为

.14

1

)21(16122=-+y x 五．课后作业：

1．抛物线x y 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）

()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 2

12-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆22

194

x y +=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）

()A 22194x y += ()B 22194y x += ()C 22194x y -= ()D 22

194

y x -= 3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________．

4．自椭圆22

1204

x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为

5．已知椭圆15

922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．

6．如图， 7．设,x y R ∈,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单 …… 此处隐藏：1344字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……