2011年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

时间：2026-01-19

2011年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何) 宁阳一中王峰

数学竞赛中的平面几何

一、引言

1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：

第一层次，中学几何问题．

这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．

第二层次，中学几何的拓展．

这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．

第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．

这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．

2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．

初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．

高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．

二、基本内容

全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．

定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．

定义2 如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A里，则集合A称为是凸的．

定义3 设M1,M2, ,Mn是多边形，如果M M1 M2 Mn并且当i j时，Mi与Mj没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2, ,Mn．

定义4 如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理1 两点之间直线距离最短．

推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

定理2 三角形的内角之等于180．凸n边形（n 3）的n个内角和等于(n 2) 外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）．

2011年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何) 宁阳一中王峰