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青岛科技大学二 O一一年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1.本试卷共 7道大题(共 7道小题),满分 150分； 2.本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3.必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡一(20分)证明两个数字矩阵 A, B相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项式.二(20分)设 A, B, C为任意三个矩阵,乘积 ABC有意义,求证：

r ( ABC )≥ r ( AB)+ r ( BC ) r ( B)三(20分)

A, B分别是 n× m和 m× n矩阵,证明四(20分)

Em A

B En

=| E n AB|=| E m BA| .

设 f ( x1, x 2,Λ, x n )= X AX为 n元实二次型,如果有两个向量 X 1, X 2∈ R,使'n

f ( X 1 )> 0, f ( X 2 )< 0.证明存在两个线性无关的向量 Y1, Y2∈ R n,使 f (Y1 )= f (Y2 )= 0.五(20分)设 V是复数域上的 n维线性空间，A,B是 V的线性变换，且 AB=BA,证明：

1)如果λ0是 A的一个特征值，那么 Vλ0 (特征子空间)是 B的不变子空间； 2 ) A,B至少有一个公共的特征向量。六(20分)第 1页(共 2页)