高等数学下册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第十一章课后答案

高数答案 复旦大学出版的

习题十一

P(x,y)dx=0

1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：∫L其中P(x,y)在L上连续．证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段，

x=a

b1≤t≤b2 y=t

则L： ，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故

b2b2 da

Px,ydxPa,tdt= =()() ∫L∫b1∫bP(a,t) 0dt=0

dt

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a

2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：∫L其中P(x,y)在L上连续．

x=x

a≤x≤b y=0

证：L： ，起点参数为x=a，终点参数为x=b．

P(x,y)dx=∫P(x,0)dx

b

，

2

L

，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

(4)

L

x2+y2

Γ

Γ

(x(8)∫

L2

，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．

解：(1)L：y=x2，x从0变到2，

课

∫Ldx dy+ydz，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0）(7) ，(0,1,0)，(0,0,1)；

2

2xy)dx+(y2 2xy)dy

后

(6)∫

x3dx+3zy2+( x2y)dz

答

(5)∫

x2dx+zdy ydz

，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；

，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；

案

∫

(x+y)dx (x y)dy

，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；

56 1315 x yx=x xx=x x= dd()()∫L∫0 35 15 0

(2)如图11-1所示，L=L1+L2

．其中L1的参数方程为

2

2

2

4

网 w

2

∫Lxydx其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(2)

(按逆时针方向绕行)；

π

ydx+xdy(3)∫L，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到2的一段弧；

ww

图11-1

.k

(x(1)∫

y2)dx

hd

a故∫L

3．计算下列对坐标的曲线积分：

P(x,y)dx=∫P(x,0)dx

b

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x=a+acost

0≤t≤π

y=asint

L2的方程为y=0(0≤x≤2a)

∫

L

xydx=∫xydx+∫xydx

L1

L2

π2a

=∫a(1+cost)asint (a+acost)′dt+∫0dx0

=∫a3( sin2t)(1+cost)dt

π

= a3

(∫

π20

π

sin2tdt+∫sin2tdsint

π

)

故

π= a3

2

=R

2

∫

π20

cos2tdt

π2

L

x2+y2

Γ

=∫(k3θ2 a2)dθ

π

1 = k3θ3 a2θ 3 01

=k3π3 a2π(5)3

课

后

(6)直线Γ的参数方程是

答

=∫(k2θ2 k+asinθ a( sinθ) acosθacosθ)dθ

π

π

x=3t

y=2t z=t

案

∫

x2dx+zdy ydz

网 w

t从1→0．

12π

(acost+asint)( asint) (acost asint)acost dta2∫0 12π

=2∫( a2)dta0

故= 2π

=

ww

.k

(3)

(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π．

(x+y)dx (x y)dy

∫

hd

1

=R2 sin2t

2 0

=0

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∫

L

ydx+xdy=∫ Rsint( Rsint)+RcostRcost dt

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∫

Γ

x3dx+3zy2dy+( x2y)dz

322

=∫ 27t 3+3t 4t 2+ 9t 2t) ( dt1

=∫87t3dt

1

1=87 t

4

41

故

=

874

(7)Γ=AB+BC+CA(如图11-2所示)

图11-2

( 1)+(1 z) dzBCdx dy+ydz=∫0

=∫(2 z)dz

01

1

课

y=0

CA:

z=1 x，x从0→1

dx dy+ydz=∫[1 0+0]dx=1

后

答

1

= 2z z2

2 0 3=2

1

案

1

∫

=

L

dx dy+ydz

(+∫+∫

)dx dy+ydz

故

=( 2)+

31

+1=22

网

w

．

ww

x=0BC:

y=1 z，z从0→1

.k

1 ( 1) dx= 2．dx dy+ydz=∫1

hd

y=1 x

AB:

z=0，x从0→1

aw

.com

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∫(x 2xy)dx+(y 2xy)dy

=∫ (x 2x x)+(x 2x x) 2x dx

=∫(x 2x+2x 4x)dx

2

2

L

1

2242

11

2354

1

(8)

=

1415

1

∫(x+y)dx+(y x)dy

L1

=∫ (1+y) 0+(y 1) dy1 =∫=

21

课

故=11

(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且

x=1 x=x y=yy=2L1： ，y：1→2；L2： ，x：1→4；

2

后

答

2

= 5y 4y

2

1

y2

(y 1)dy= y

2 1

故

1

2

案

∫(x+y)dx+(y x)dy=∫ (3y 2+y) 3+(y 3y+2) dy=∫(10y 4)dy

L212

2

网 w

ww

11 1

= y4+y3+y2

32 1 2

34=3

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2

2

.k

hd

∫(x+y)dx+(y x)dy

=∫ (y+y) 2y+(y y) 1 dy

=∫(2y+y+y)dy

L2

2

2

12

3

2

1

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(x+y)dx+(y x)dy

4．计算∫L，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．

x=y2

解：(1)L： y=y，y：1→2，故

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∫(x+y)dx+(y x)dy

L2

=∫ (x+2)+(2 x) 0 dx1

2 1

=∫(x+2)dx= (x+2) 1

2 1

27=2

∫(x+y)dx+(y x)dy4

4

4

L

==

(∫+∫)(x+y)dx+(y x)dy

L1

L2

∫(x+y)dx+(y x)dy=∫ (3 …… 此处隐藏：9603字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……