两个实对称阵同时正交对角化的MATLAB程序

摘要：使用 Ma d a b语言设计出实现两个实对称阵同时正交相似对角化的计算机程序。关键词：同时正交相似对角化；Ma d a b;程序中图分类号：O1 5 1 . 2,02 4 4 文献标识码：A DOI:1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 3— 6 9 7 0 . 2 0 1 3 . 0 9 . 0 2 4

本文著录格式：[ 1】罗晓丹，王积社 .两个实对称阵同时正交对角化的 MA T L A B程序Ⅱ】 .软件，2 0 1 3, 3 4 ( 9 ):7 8— 8 0

The Ma t l a b Pr o g r a m o f Two Re a l Sy mme t r i c Ma t r i c e s Wh i c h t o Be Or t h o g o na l Si mi l a r i t yDi a g o na l i z a t i o n S i mu l t a ne o us l yL UO Xi a o— d a n, WANG J i— s h e

( H a n s h a nN o r m a l U n i v e r s i t y De p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s, C h a o z h o u, G u a n g d o n g 5 2 1 0 4 1, C h i n a )

[ Ab s t r a c t]U s i n g Ma t l a b l a n g u a g e t o d e s i g n a c o mp u t e r p r o g r a m t h a t c a n a c h i e v e t h e g o a l o f t w o r e a l s y mme t i r c ma t r i x w h i c h t o b eo r t h o g o n a l s i mi l a r i t y d i a g o n a l i z a t i o n s i mu l t a n e o u s l y .

[ K e y wo r d]o r t h o g o n a l s i mi l a r i t y d i a g o n a l i z a t i o n s i mu l t a n e o u s l y; Ma t l a b; p r o g r a m

0引言实对称矩阵正交对角化是重要的

数学方法，但其求解过程非常繁琐，尤其多个矩阵同时正交对角化问题，更使人望之生畏。

Q 一曰 Q = d i a g ( u…, U : )。于是做 Q:d i a g ( Q一， O2 ),则Q为正交阵，且Q 1 a: d i a g ( u……, 1 t 1川，…, U s一，“ )= A 2。最后令 T=P a,则 r为正交阵且 T~ AT=人1、T~ B T=Q一 P一 B P Q= O~ B 1 O=人2。

因此本文研究实现两个实对称矩阵同时正交相似对角化的算法及 Ma t l a b程序。

2算法设计2 . 1主算法定理给出了判定两个实对称矩阵能否同时正交相似对角化的充要条件，定理的证明给出了两个实对称矩阵同时正交相似

1理论基础定理【 l】:设、都是实数域 R上的 n阶对称矩阵，则：存在 n阶正交矩阵，使得充要条件是 A B: 4。

与一

同时为对角阵的对角化的方法，据此设计两个实对称矩阵同时正交相似对角化的算法如下： ①请用户输入矩阵的阶数 n及两个 n阶实对称阵 A、 B。 ②若= ,则转③;否则提示“输入有误，不是对称矩阵，请重新输入”,重新输入。 ③若 B: ,则转④;否则提示“输入有误，不是对称矩阵，请重新输入”,重新输入。 ④若、

证明：必要性。设存在 n阶正交矩阵，使得=

d i a g ( 2 j,…, ), T~ B T:d i a g ( l, f,…, ), 则有

T~ A B T=d i a g ( 2 l 一，五 ):r~ B A T,I￣P ), A B=B A。

充分性。因为是实对称矩阵，所以存在正交矩阵 P,

使得 P一 P: d i a g ( 2 l I 1,…,, )=Al,其中 l,…,互异且 n 1+…+n =n。令 B I=P— B P,因为 A B= B A,所以P 丑 P = P B 尸 I,所以 A I B I= B . A 。而 A,是准对角

,则转⑤;否则提示“因为 B≠

所以

不能同时正交对角化”。

矩阵，故也是准对角矩阵，于是设 B l=d i a g ( B 1 1,…,母)(其中为 n阶方阵 ),注意到 J P为正交矩阵而 B为实对

⑤计算[ J P, D】=e i g ( A ),由D确定 A

的互异特征根l、…及每个 f的重数 n f,依将 D对角线上元素重

称矩阵，所以船(七=1, 2,…, )也为实对称阵，因此对排，使得D=￣“ 6 n。 i…: 】,同时也将尸的列也随着D的每个曰肚作正交对角化即可求得 n阶正交方阵，使得变化而重新排列。