2012-2003数学二真题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)

曲

线

x2 x

y 2

x 1

的渐近线条数

( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数f(x) (ex 1)(e2x 2) (enx n)，其中n为正整数,则f (0) ( )

(A) ( 1)

n 1

(n 1)! (B) ( 1)n(n 1)! (C) ( 1)n 1n! (D) ( 1)nn!

(3) 设an 0(n 1,2,3 ),

则数列 Sn 有界是数列 an 收敛的 Sn a1 a2 a3 an，

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

k

2

(4) 设Ik exsinxdx,(k 1,2,3),则有

( )

(A) I1 I2 I3 (B) I3 I2 I1 (C) I2 I3 I1 (D) I2 I1 I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有

(x,y) (x,y)

0, 0,则使不等式 x y

f(x1,y1) f(x2,y2)成立的一个充分条件是

(

)

(A) x1 x2,y1 y2 (B) x1 x2,y1 y2 (C) x1 x2,y1 y2 (D) x1 x2,y1 y2 (6) 设区域D由曲线y sinx,x

2

,y 1围成，则 (x5y 1)dxdy

D

( )

(A) (B) 2 (C) -2 (D) -

0 0 1 1

(7) 设α1 0 ,α2 1 ,α3 1 ,α4 1 ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列

c c c c

2 3 4 1

向( )

量组线性相关的为

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

100

(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P 1AP 010 .若P α1,α2,α3 ，

002 Q α1 α2,α2,α3

( )

则

Q 1AQ

100 100 200

(A) 020 (B) 010 (C) 010

001 002 002 200 (D) 020

001

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

d2y(9) 设y y(x)是由方程x y 1 e所确定的隐函数，则2

dx

2

y

x 0

(10)limn 2 2 222 n 2 nn n . 1 n (11) 设z f lnx

111

1 z2 z,x y . 其中函数f u 可微，则

y x y

(12) 微分方程ydx x 3y

2

dy 0满足条件y

x 1

1的解为y .

(13) 曲线y x x x

0 上曲率为

2

的点的坐标是 . 2

(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则

BA*

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数f x (I)求a的值;

k

(II)若x 0时，f x a与x是同阶无穷小，求常数k的值.

1 x1

，记a limf x ，

x 0

sinxx

(16)(本题满分 10 分)

求函数f x,y xe

x2 y22

的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

xyd ，其中区域D为曲线r 1 cos 0 与极轴围成.

D

(19)(本题满分10分)

已知函数f(x)满足方程f (x) f (x) 2f(x) 0及f (x) f(x) 2ex, (I) 求f(x)的表达式;

(II) 求曲线y f(x) f( t2)dt的拐点.

02

x

(20)(本题满分10分)

1 xx2

证明xln,( 1 x 1). cosx 1

1 x2

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程xn+xn-1 x 1 n 1的整数 ，在区间 根；

(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.

n

1

,1 内有且仅有一个实2

(22)(本题满分11 分)

1

0

设A

0 a

a00 1

1a0 1

，

0 01a

001 0

(I) 计算行列式A；

(II) 当实数a为何值时，方程组Ax 有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

1 0 已知A 1 01 11 TT

，二次型f x1,x2,x3 x AA x的秩为2，

0a

a 1

(I) 求实数a的值；

(II) 求正交变换x Qy将f化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．

（1）已知当x 0时，函数f(x) 3sinx sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）

（A）k 1,c 4 （B）k 1,c 4 （C）k 3,c 4 （D）k 3,c 4

k

x2f(x) 2f(x3)（2）设函数f(x)在x 0处可导，且f(0) 0，则lim （ ）

x 0x3

（A） 2f (0) （B） f (0) （C）f (0) （D）0 （3）函数f(x) ln(x 1)(x 2)(x 3)的驻点个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y y e

（A）a(e

x

2

x

e x( 0)的特解形式为（ ）

e x) （B）ax(e x e x)

（C）x(ae

x

be x) （D）x2(ae x be x)

（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0) 0，g(0) 0，f (0) g (0) 0

则函数z f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A）f (0) 0，g (0) 0 （B）f (0) 0，g (0) 0 （C）f (0) 0，g (0) 0 …… 此处隐藏：7833字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……