线性代数1-3克拉默法则

第三节

克拉默法则

一、克拉默法则 二、重要定理

一、克拉默法则如果线性方程组

书P24

a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n a 11 a 21

(1 )

a 12 a 22

a1n a 2n

的系数行列式不等于零，即D

0

a n1 an2 a nn

那么线性方程组 1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D2 D , , x n Dn D .

其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即a 11 a 1 , j 1 a n1 a n , j 1 b1 a 1 , j 1 a 1n a n , j 1 a nn D j bn

例1 用克拉默法则解方程组 x1 x 2 x 3 2 x 4 0 , 2 x1 x 2 x 3 x 4 0 , 3 x1 2 x 2 x 3 5 x 4 5 , x x x x 1. 1 2 3 4

书P26 例14

简解 D 9 0D1 9 , D 2 18 ,x2 2,

D 3 27 ,x 3 3,

D4 9

故

x1 1,

x4 1.

注：1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 一些实际求解方法将在第四章中详讲。

二、重要定理1. 非齐次与齐次线性方程组的概念 书P26 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 设线性方程组 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n

若常数项 b1 , b 2 , , b n 不全为零 ,

则称此方程组为非

齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b 2 , , b n 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.

2. 齐次线性方程组的相关定理 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0

2

定理 定理

齐次线性方程组 2 必有零解 齐次线性方程组 2 有非零解

系数行列式

D 0

思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?

思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.