2012高考数学一轮复习数列--数列综合题_ppt

7、数列综合题2013年8月9日星期W

一.等差数列与等比数列的综合 【例 1】 (2006 年福建卷) 已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1(n N* ). (I)求数列 an 的通项公式；b 1 b b 1 b 1 * (II) 若数列{bn}滿足 4 1 4 2 4 n (an 1) n (n N ), 证 明：数列{bn}是等差数列； an n 1 a1 a2 n (n N* ). (Ⅲ)证明： ... 2 3 a2 a3 an 1 2

an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列. an 1 2n.

【分析及解】 (I) an 1 2an 1(n N* ), an 1 1 2(an 1), 即an 2n 1(n N* ).

b 1 b b 1 b 1 * (II)证法 1. 4 1 4 2 4 n (an 1) n (n N ),

4(b1 b2 bn ) n 2nbn . 2[(b1 b2 ... bn ) n] nbn ,

2[(b1 b2 ... bn bn 1 ) (n 1)] (n 1)bn 1.

① ② ③ ④

②-①,得 2(bn 1 1) (n 1)bn 1 nbn , 即 (n 1)bn 1 nbn 2 0,

nbn 2 (n 1)bn 1 2 0.③-④,得 即nbn 2 2nbn 1 nbn 0,bn 2 2bn 1 bn 0,

bn 是等差数列。

bn 2 bn 1 bn 1 bn (n N* ),

证法 2.同证法 1,得 令 n 1, 得 b1 2.

(n 1)bn 1 nbn 2 0

bn 1 bn d , bn 是等差数列。

设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 bn 2 (n 1)d . (1)当 n 1, 2 时，等式成立。 (2)假设当 n k (k 2) 时， bk 2 (k 1)d , 那么 k 2 k 2 bk 1 bk [2 (k 1)d ] 2 [(k 1) 1]d . k 1 k 1 k 1 k 1 这就是说，当 n k 1 时，等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn 2 (n 1)d 对任何 n N* 都成立。

ak 2k 1 2k 1 1 (III) k 1 , k 1, 2,..., n, ak 1 2 1 2(2k 1 ) 2 2 an a1 a2 n ... . a2 a3 an 1 2

ak 2k 1 1 1 k 1 ak 1 2 1 2 2(2k 1 1) 1 1 1 1 1 k . k , k 1, 2,..., n, 2 3.2 2k 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 1 2 n 2 n a2 a3 an 1 2 3 2 2 2

n 1 1 n 1 1 n , 2 3 2 2 3 a n 1 a a n 1 2 n (n N* ). 2 3 a2 a3 an 1 2

【例 2】(2005 年· 湖北卷· 19) 文 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2 , {bn } 为等比数列，且 a1 b1 , b2 (a2 a1 ) b1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式；an (Ⅱ)设 c n ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn. bn

【分析及解】 (Ⅰ)当 n 1时, a1 S1 2; 当n 2时, a n S n S n 1 2n 2 2(n 1) 2 4n 2, 故 {an}的 通 项公 式为 an 4n 2,即{an }

是a1 2, 公差d 4 的 等差数列.1 设 {bn } 的公比为 q, 则 b2 a2 a1 b1qd b1 , d 4, q . 4 1 2 n 1 {bn } 的通项公式为 bn n 1 . 故 bn b1q 2 n 1 ,即 4 4

(Ⅱ) c n a n 4n 2 (2n 1)4 n 1 ,bn 2 4 n 1

Tn c1 c2 cn 1 3 41 5 4 2 (2n 1)4 n 1 , 4Tn 1 4 3 4 2 5 43 (2n 3)4 n 1 (2n 1)4 n 两式相减得3Tn 1 2(41 4 2 4 3 4 n 1 ) (2n 1)4 n 1 [(6n 5)4 n 5] 3 1 Tn [(6n 5)4 n 5]. 9

【例 3】 如图, n 2 个( n 4) 正数排成 n 行 n 列方阵,其中每一行的数成等差数列, 每 一列的数成等比数列,并且所有公比 都相 等, 3 1 . 设 a24 1 , a 42 , a 43 . 8 16 (Ⅰ) 求公比 q 的值; (Ⅱ) 求 a1k ( 1 k n) 的值; (Ⅲ)求 S n a11 a22 a33 ann 的值.

a11 , a12 , a13 , a14 , , a1n a21 , a22 , a23 , a24 , , a2 n a31 , a32 , a33 , a34 , , a3n a41 , a42 , a43 , a44 , , a4 n a , a , a , a , , a nn n1 n 2 n3 n 4

【分析及解】(Ⅰ) a44 a43 a43 a42 , 1 a 44 2a43 a 42 . 4 a 44 1 1 2 q , q . 则 a 24 4 2 (Ⅱ) a24 a14 q, a14 2 . 3 3 a 43 a13 q , a13 . 2 1 1 d1 a14 a13 . a11 a13 2d1 . 则 2 2 1 1 1 a1k (k 1) k . 2 2 2

(Ⅲ) akk a1k q

k 1

1 1 S n 1 2 2 2 2 1 1 Sn 1 2 2 2 两式相减得 1 1 1 1 1 1 1 Sn 2 3 4 n n n 1 , 2 2 2 2 2 2 2 n 1 Sn 1 n . 2

1 k , 2 1 1 1 3 3 4 4 n n 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3 4 n 1 n n n 1 2 2 2 2

k

【例 4】 数列 {a n } 满足下列关系式：a1 2a; (a 0, a 是常数) ,a2 a n 2a ; a n 1

(Ⅰ)用数学归纳法证明： an a ; 1 (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足关系式 bn .证明数列 {bn } 是等差 an a 数列； (Ⅲ)求 lim a n .n

【分析及解】 (Ⅰ)用数学归纳法. 当 n 1时，由 a1 2a 得 a1 a 2a a a 0, a1 a , 即 n 1时，结论成立. 假设 n k 时结论成立，即， a k a, 则当 n k 1 时 a2 a 2 a a k a a k 1 a 2a a a 0 ak ak ak ∴ a k 1 a ,即 n k 1时，结论成立。 因此，对所有自然数 n ,都有 an a .

a a n 1 a a2 a2 2a a a 0, (Ⅱ) a n a a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a n 1 a a 1 bn

, a n a a a n 1 a a a n 1 a 1 1 1 bn 1 , 即 bn a a n 1 a a 1 bn bn 1 是一个常数，即数列{ bn }是等差数列. a (Ⅲ)∵{ bn }是等差数列，其通项为 1 n 1 1 1 1 (n 1) , bn b1 ( n 1) ( n 1) a a a a1 a a a a 1 a lim a n a , 于是 n a n a an a , n bn n

【例 5】 A 是四元实数集合，将 A 的元素两两相加， 得到六个和数从小到大排列构成公差为 1 的等差数列x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ,并且 x1 x2 , x3 x4 4, x5 x6 2 成等比数

列. 求集合 A .

【分析及解】 数列 ∴ ∵ ∴

∵

x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 是以 1 为公差的等差

xk x1 k 1

k

1,2,3,4,5,6 2

x1 x 2 , x3 x 4 4, x5 x6 2 成等比数列

x1 x1 1 x1 4 x1 5 2 x1 2 x1 3 4

2 x1 x1 2 0 x1 1, 或x1 2 , 设集合 A a, b, c, d 其中a b c d , 比较和数，得 a d …… 此处隐藏：1643字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……