【步步高】2014届高考数学文二轮复习课件：专题一 第5讲导数及其应用

专题一 第5讲

第5讲【高考考情解读】

导数及其应用

本 1.本讲主要考查导数的几何意义，导数的四则运算及利用导 讲 栏 数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 目 开 2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等 关

结合在一起考查，题型多样，属中高档题目.

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1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点本 (x0,f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y-f(x0)= 讲 栏 f′(x0)(x-x0). 目 开 2.导数与函数单调性的关系 关

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x) =x3在(-∞,+∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在 某个区间内恒有f′(x)=0时，则f(x)为常数，函数不具有 单调性.http://www.77cn.com.cn

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3.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是 对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题.本 讲 栏 目 开 关

(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而 函数的极值可能不止一个，也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不 一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最 值.

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4.四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x)′=cos x. (2)(cos x)′=-sin x.本 讲 栏 目 开 关

(3)(ax)′=axln a(a>0,且a≠1). 1 (4)(logax)′= (a>0,且a≠1). xln a (5)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). f x f′ x g x -f x g′ x (6) (g(x)≠0). 2 ′= g x [ g x ]

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考点一 例1

导数几何意义的应用

(1)过点(1,0)作曲线y=ex的切线，则切线方程为_____.

本 3 讲 (2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1:y=ax +1(a>0) 栏 5 目 与曲线C2:x2+y2= 的一个公共点，若C1在A处的切线与C2 2 开 关

在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________.

解析 (1)设切点为P(x0,ex x

x0

),则切线斜率为 e

x0

,

切线方程为y- e 0 = e 0 (x-x0),x0 x e 又切线经过点(1,0),所以- =e 0 (1-x0),

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热点分类突破解得x0=2,切线方程为y-e2=e2(x-2),

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即e2x-y-e2=0.2 (2)设 A(x0,y0),则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)=3ax0 , 1 x0 C2 在 A 处的切线的斜率为- =- , kOA y0

本 讲 栏 目 开 关

又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直， x0 3 所以(- )· 3ax2 0=-1,即 y0=3ax0, y0 3 3 又 ax0=y0-1

,所以 y0= , 2 5 1 2 2 代入 C2:x +y = ,得 x0=± , 2 2 1 3 将 x0=± ,y0= 代入 y=ax3+1(a>0),得 a=4. 2 2 http://www.77cn.com.cn 答案 (1)e2x-y-e2=0 (2)4

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(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，本 讲 栏 目 开 关

点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为 切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之 间的关系，进而和导数联系起来求解.

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(1)直线 y=kx+b 与曲线 y=ax2+2+ln x 相切于点 P(1,4),则 b 的值为 A.3 B. 1 C.-1 D.-3 ( )

π (2)若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1 2 本 讲 ( ) 栏 =0 互相垂直，则实数 a 等于目 开 关

A.-2

B.-1

C.1

D.2

解析 (1)由点P(1,4)在曲线上，可得a×12+2+ln 1=4,

1 解得a=2,故y=2x +2+ln x.所以y′=4x+ x. 1 所以曲线在点P处的切线斜率k=y′|x=1=4×1+1=5.2

所以切线的方程为y=5x+b.由点P在切线上， http://www.77cn.com.cn

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得4=5×1+b,解得b=-1.π (2)f′(x)=sin x+xcos x,f′( )=1, 2 π 即函数f(x)=xsin x+1在点x= 处的切线的斜率是1, 2 a 直线ax+2y+1=0的斜率是- , 2 a 所以(- )×1=-1,解得 a=2. 2

本 讲 栏 目 开 关

答案 (1)C

(2)D

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热点分类突破考点二 例2 利用导数研究函数的性质

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(2013· 广东)设函数 f(x)=x3-kx2+x(k∈R).

(1)当 k=1 时，求函数 f(x)的单调区间；本 讲 栏 目 开 关

(2)当 k<0 时，求函数 f(x)在[k,-k]上的最小值 m 和最大值 M.

解 f′(x)=3x2-2kx+1, (1)当 k=1 时，f′(x)=3x ∴f(x)在 R 上单调递增.http://www.77cn.com.cn2

1 2 2 -2x+1=3 x-3 + >0, 3

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(2)当 k<0 时，f′(x)=3x2-2kx+1,其图象开口向上，对称 k 轴 x= ,且过(0,1)点. 3①当 Δ=4k2-12=4(k+ 3)(k- 3)≤0,即- 3≤k<0 时，本 讲 栏 目 开 关

f′(x)≥0,f(x)在[ k,-k] 上单调递增.∴m=f(x)min=f(k)=k,

M=f(x)max=f(-k)=-2k3-k. ②当 Δ=4k2-12>0,即 k<- 3时， k+ k2-3 k- k2-3 令 f′(x)=0 得 x1= ,x2= , 3 3且 k<x2<x1<0.

∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)}.

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3 2 又 f(x1)-f(k)=x1 -kx2 + x - k = ( x - k )( x 1 1 1 1+1)>0,

∴m=f(k)=k,2 本 又 f(x )-f(-k)=x3-kx2+x -(-k3-k· k -k) 2 2 2 2 讲

栏 目 =(x2+k)[(x2-k)2+k2+1] …… 此处隐藏：1141字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……