2018年秋人教B版数学选修2-1练习：第三章检测 Word版含解析

第三章检测

(时间分钟满分分)

一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的) .已知在正方体中为侧面的中心.

∴,故选.

.已知为单位正交基底,则与的数量积等于()

故()(),

∴·.

.已知向量(),其中>,若∥,则的值为()

⇔存在λ∈使λ⇔

.已知三点不共线,对平面外的任一点,下列条件中能确定点与点一定共面的是()

与点一定共面.

.若是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是()

.(·)(·)

.若··,则∥

.若··,则∥

)是与共线的向量,(·)是与共线的向量与不一定共线,故项为假命题;

若··,则与方向相反,所以∥,故项为真命题;

若··,则()·,即()⊥,不能得出∥,故项为假命题;

若··,则与方向未必相同,故不能得出,所以项为假命题.

.若向量()(),且夹角的余弦值

解得或

.在四棱锥中,底面是平行四边形

.相交

.垂直

.不垂直

.成°角

⊥平面.

.下面命题中,正确的命题有()

①若分别是不同平面α,β的法向量,则∥⇔α∥β;

②若分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔·;

③若是平面α的法向量是α内两个不共线的向量λμ(λ,μ∈),则·;

④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.

个个

个个

.如图,在正四棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为()

.已知向量()与平面α垂直,且α经过点(),则点()到α的距离为()

又与α垂直,

所以到α的距离

故选.

(本大题共小题,每小题分,共分.把答案填在题中的横线上)

.如图,在正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成的角的大小是.

以点为原点

,

以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

.

,

设正方体的棱长为与所成的角的大小为°.

.已知空间三点()()(),若直线上的一点(),满足⊥,则.

∵⊥,

∴()·().

又∥,

∴()(),

联立解得

···.

···,

则()·()·()·

,

解得

则以为邻边的平行四边形的面积为.

,所以平行四边形为菱形.

又()(),

所以

.给出命题:

①在▱中

②在△中,△是锐角三角形;

③在梯形中分别是两腰的中点,

以上命题中,正确命题的序号是.

满足向量运算的平行四边形法则,故正确;

·>⇒∠<°,但∠,∠无法确定,△是否是锐角三角形无法确定,故错误;

③符合梯形中位线的性质,故正确.

(本大题共小题,共分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .(分)在平行六面体中,∠°,∠∠°,求的长.

.

∴

···

××°××°××°

,

∴

.(分)

在平面四边形中⊥⊥.将△沿折起,使得平面⊥平面,如图.

()求证⊥;

,求直线与平面所成角的正弦值.

平面

,

⊥

∩

平面

平面

,

平面

⊥

⊂

平面∴⊥平面.

又⊂平面,∴⊥.

.

,

⊥

如图由()知⊥平面⊂平面⊂平面,

∴⊥⊥.

以为坐标原点,分别轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意,得()()()(),

设平面的法向量(),

取,得平面的一个法向量().

设直线与平面所成角为θ,

则θ<

即直线与平面所成角的正弦值

.(分)已知四棱锥的底面为直角梯形∥,∠°⊥底面,且

()证明平面⊥平面;

()求与所成角的余弦值;

()求平面与平面所成二面角的余弦值.

⊥⊥⊥,所以可以以为坐标原点长为单位长度,建系使用向量求解.

,建立空间直角坐标系,则各点坐标为()() ()()().

∵()(),

∴⊥.

又由题设知⊥,且与是平面内的两条相交直线,由此得⊥面.

又在面内,故面⊥面.

()可()(),

∴,

∴<,>.

由此得与所成角的余弦值.

(),则存在λ∈λ, (),

∴λλ.

要使⊥,只,即,

解得λ.可知当λ点坐标,

能.

此时,

.

,得⊥⊥.

∴∠为所求二面角的平面角.∵,

∴<,>.

故所求的二面角的余弦值为.