专题二：分数巧算

时间：2025-07-15

专题二分数巧算

知识要点

一、定义

下面这样的题目大家肯定遇到过吧。{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |1=，，这就是分数的分拆，分数的分拆指的是一个分数可以分拆成两个或两个以上分数的12

和或差，再运用某些运算定律或运算技巧，可以使一些用常规计算比较复杂的运算变得更为简便。

二、重要规律

1. 运算定律：

（1）加法交换律：

（2）加法结合律：

（3）乘法交换律：

（4）乘法结合律：

（5）乘法分配律：

2. 运算性质：

（1）减法的性质：

（2）除法的性质：

典例评析

例1 计算

分析：通过仔细观察可以发现，与1非常接近，可以把看成，这样就可运用乘法分配律进行简算；也可以发现和只差，所以也可以把看成是进行简算。

解答：

说明：从上例可知，只要仔细观察题中的有关数据特点，将其中的一个或几个分数进行分拆，达到可以直接约分的目的，再运用乘法分配律等相关运算定律可以使计算简便。

【变式训练1】计算：（1）（2）

例2 计算：

分析：如果按带分数除法的计算方法进行计算，会十分麻烦。根据题目的特点，可以发现它的整数部分和分子相同。因此，把转化成后，运用乘法分配律变形为，这样就为下一步计算除法时的约分做了铺垫。

解答：

说明：计算本题时，我们可以运用除法的性质把分数变形后，再约分计算。

变式训练2：试一试计算：

例3 请将写成几个分子为1的分数的和，如。

分析：首先考虑分成2个分子为1的分数的和，我们不难知道：，那么如何得到结果呢？我们可以采用扩缩的方法，，，而且和都是的因数，所以可约成分子为1的分数，，进一步分拆，，…，从分拆的过程来看各个分数的分母，它们之间存在着规律，在中，，在中，，在中，，……我们不难发现，把一个分数分拆成两个不同的分子为1的分数，只要把这个分数的分母加1作一个分数的分母，然后把得到的分母与原分数的分母的乘积作另一个分数的分母。

解答：

说明：从上例中可以看出，把分拆成两个分子为1的分数的和，只要把和作为两个分数的分母就可以了，即。当然，本题解法不唯一。

变式训练3：

例4 你能把分拆成两个分数的差吗？

分析：仔细观察分母，是一个等差数列，可以写成，发现符合分拆方法3.

解答：

说明：从上例可看出，在解决本例时，我们可发现与例3的联系，如有，就有（注意），本例，也可以得到，相信我们的同学也已经从中发现了规律。

变式训练4：请你把分拆成两个分数的差。

例5 计算

分析：如果用通分的方法计算就太复杂了，仔细观察可以发现，每个加数的分子都是1，而分母是连续自然数，属于形，所以每个加数都可以拆成两个分数的差，如，，…，然后再相加，发现相邻分数相互抵消，很快就可以求出结果。

解答：

说明：从上例可知，在计算形如的分数的和时，可以把每个分数分拆成，使整个算式中出现若干个可以相互抵消的分数，巧妙地运用了分拆的方法。