通信原理第二章2 信号与噪声傅立叶变换

第二章 信号与噪声信号的频谱分析

1.信号分解 信号分解 2.周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的傅立叶级数展开

信号分解直流分量+交流分量 信 号

偶分量+奇分量

实部分量+虚部分量

脉冲分量 正交分量

分解结果是唯一的

信号分解为冲激信号序列在信号分析与系统分析时，常常需要 将信号分解为基本信号的形式。这样，对信 号与系统的分析就变为对基本信号的分析， 从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系 统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲 激信号序列就是其中的一个实例。 

连续信号分解为冲激函数的线性组合f (t)

f ( k )

0 2

k (k +1)

t

连续信号表示为冲激信号的迭加

从上图可见，将任意信号f(t) 分解成许多小矩形，间隔为Δτ,各 矩形的高度就是信号f(t)在该点的函 数值。根据函数积分原理，当Δτ很 小时，可以用这些小矩形的顶端构成 阶梯信号来近似表示信号f(t);而当 Δτ→0时，可以用这些小矩形来精确 表达信号f(t)。即

f (t ) ≈ + f (0)(u(t ) u(t τ )) + f ( τ ) u(t τ ) u(t 2 τ )) + ( + f (k τ )(u(t k τ ) u(t k τ τ )) + (u(t ) u(t τ )) u(t τ ) u(t 2 τ ) = + f (0) τ + f ( τ ) τ + τ τ (u(t k τ ) u(t k τ τ )) + f (k τ ) τ + τ ∞ (u(t k τ ) u(t k τ τ )) τ = ∑ f (k τ ) τ k = ∞

上式只是近似表示信号f(t),且Δτ越小，其误差越小。当 Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当Δτ→0 时，kΔτ→τ,Δτ→dτ,且

(u(t k τ ) u(t k τ τ )) → δ (t τ ) τ 故式在Δτ→ Δτ→0 故式在Δτ→0时，有 f (t ) = lim τ →0

k = ∞

∑∞

∞

f (k τ )

(u(t k τ ) u(t k τ τ )) i τ τ

= lim∞

τ →0

k = ∞

∑

f (k τ )iδ (t k τ )i τ

= ∫ ∞ ff ((tτ iδ (tt τ ))dτ ) )δ ( τ dτ ∞ ∫ ∞

信号分解δ(t)为物理意义与实际应用 为物理意义与实际应用物理意义： 物理意义：

f (t ) = ∫

∞

∞

f (τ )δ (t τ )dτ

不同的信号都可以分解为冲激序列， 信号不同只是它们的系数不同。实际应用： 实际应用：

当求解信号通过系统产生的响应时，只需 求解冲激信号通过该系统产生的响应 冲激信号通过该系统产生的响应， 求解冲激信号通过该系统产生的响应 然后利用线性时不变 利用线性时不变 特性， 利用线性时不变系统的特性 特性 进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。 9

信号

正交分量分解(1)周期信号的频域分析 (1)周期信号的频域分析 (2)非周期信号的频谱 (2)非周期信号的频谱 (3)常见信号的频谱 (3)常见信号的频谱 (4)Fourier变换的性质 (4)Fourier变换的性质 Fourier

周期信号的频谱分析--傅立叶级数 周期信号的频谱分析--傅立叶级数 -周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱

一、周期信号的傅立叶级数分析将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义： 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 (1) 从信号分析的角度 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 (2) 从系统分析角度 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是 衰减还是增强一目了然。12

三角函数集三角函数集是最重要的基本正交函数集，{1, Sin n ω1t, Cos n ω1t , n=1,2,…,+∞},它具有以下优点：

(1)三角函数是基本函数； (2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两 个基本物理量之间的联系； (3)基频三角函数是简谐信号，它容易产生、传 输、处理； (4)三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角 函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。

三角形式傅立叶级数若f(t) = f(t+nT),则f(t)为周期信号，T为最小正周 期，f1=1/T是信号的基波频率。若f(t) 满足Dirichlet条 件，则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数

f (t ) = a 0 + ∑ ( a n cos n ω 1t + bn sin n ω 1t )n =1

∞

基波角频率

2π ω1 = 2πf1 = T114

三角形式傅立叶级数( 三角形式傅立叶级数(续)根据三角函数集的正交性，可确定a0 、an、bn

1 其中：a0 = ∫ TT 2 T 2

T 2 T 2

f (t )dt

2 an = ∫ f (t ) cos nω1tdt (n = 1,2 ) T2 bn = T

∫

T 2 T 2

f ( t ) sin n ω 1tdt

( n = 1,2 )

纯余弦形式傅立叶级数同频率合并∞

f (t ) = a 0 + ∑ (an cos nω1t + bn sin nω1t )dtn =1

= a0 + ∑n =1

∞

a bn n a +b cos nω1t sin nω1t 2 2 2 2 an + bn an + bn 2 n 2 n

= c 0 + ∑ C n cos n ω 1t + n) (n =1

∞

其中

bn 2 n = arctg C n = a n + bn2 a n c0称为信号的直流分量 C0=a0

C n cos n ω 1t + n)称为信号的n次谐波分量 (16