求极限的几种常用方法

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SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2010年第15期

求极限的几种常用方法

陈慧泽

（定西市第一中学甘肃定西

743000）

【摘要】极限是数学分析中最重要最基本的概念之一，而求极限是数学分析中的主要运算之一。求极限的方法因题而异、变化多端，有时甚至感到变化莫测无从下手。本文就极限的求法总结了七种方法，只要掌握了这是七种方法，一般求极限的问题都能够得以解决。

【关键词】极限；方法；数列；函数极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念都可以用极限概念来表达。例如函数在某点x0处导数的定义，偏导数的定义，定积分、二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等。因此极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点联系在了一起。所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限是学好数学分析的基础。求极限主要有函数的极限和数列的极限，但是，二者不是孤立的，由归结原则把二者联系起来，因此在求解时所用的方法是一样的。掌握求极限的方法对数学分析的学习有十分重要的作用，下面归纳总结了求极限的几种常用方法。

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0

是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数

x→x0

值，即limf(x)=f(x0)

x→x0

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u=φ(x)在x0连续且u0=φ(x0),y=f(u)在u0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处也连续，从而limf[φ(x)]=f[φ(x0)]或limf[φ(x)]=f[limφ(x)]

x→x0

x→x0

x→x0

例3：求limlnsinx

x→π

1利用极限的定义求极限

解：复合函数lnsinx在x=π处是连续的，即有limlnsinx=lnsinπ=

x→π

利用极限的定义求极限时，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limf(x)=A的ε-δ定义是指：坌ε＞0,埚δ=δ(x0,ε)＞0,0＜|x-x0|＜δ圯|f

x→x0

lnl=0

4利用无穷小的性质求极限

(x)-A|＜ε为了求δ可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

例4：求lim

x→1

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜求δ2出后，取δ＝min(δ1,δ2),当0＜|x-x0|＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε例1：设limxn＝a,则有limx1+x2+…+xn＝a

n→∞n→∞证明：因为limxn=a,对坌ε＞0，埚N1=N1(ε),当n＞N1时,|xn-a|＜ε

n→∞x+x+…+xn-a于是当n＞N1时，12=|x1+x2+…+xn-na|

|x1-a｜+|x2-a|+…+|xN-a||xN+1-a|+|xn-a|An-N1Aε≤+≤+＜＋

其中A＝｜x1-a｜+｜x2-a｜+…|xN+1-a|是一个定数，

1

1

1

4x-7解：当x→分母的极限为0.而分子的极限不为0，可先求出所给函数倒数的极限

2

limx-3x+2＝1-3+2＝0，故lim4x-7＝∞x→1x→15利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例5：求lim

n→∞

姨a+姨a+…+姨,则xn+1=姨n.由归结法可证xn＜

x+x+…+xn-a当n＞N时，12＜ε＋ε＝ε

再由A＜ε，解得n＞2A，故取N=max{N1,[2A]}

解：令x＝姨a+姨a+…+姨姨(有界性)又因为姨a+姨＞姨，即xn+1＞xn,所以数列{xn}单调递增由单调有界定理知：lim

n→∞

姨a+姨a+…+姨=1＋有极限，并设为A而

2利用极限的四则用算法则求极限

利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子

limxn+1=lim姨n.,即A＝姨，则A＝1＋n→∞n→∞2

所以：lim

n→∞

极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现0，

姨a+姨a+…+姨∞，∞-∞等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变

形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

6利用罗必塔法则求极限

罗必塔法则是计算不定式极限的重要方法，可用来求诸如0型，

-1）由于当x→时，3与1的极限都不存在，故不能利用“和的

x→1

例2：求lim（3

∞型,∞-∞型,0·∞型等多种形式的极限。需要注意的是要验证原式

是否为不定式，如果不是就不能用此法则；在重复使用此法则时，必须每步都做检查，一旦发现不是不定式就要停止使用。

例6：求limxnlnx

x→0

极限等于极限的和”，这一法则，这时可先进行化简

3-1＝3-（1＋x+x2）=（2＋x）(1-x)=2＋x1-x31-x1-x3(1-x)（1+x+x2）1+x+x2

这样得到的新的函数，当x→时,分子、分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即：lim（3

x→1

2＋x

-1）=lim=1

x→11+x+x21

n

lnx∞解：limxlnx(0·∞)=lim()=lim=lim(-x)=0，若把上

n→0x→0x→0x→0-n

3利用函数的连续性求极限

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