解三角形应用举例第一课时)

1.2 解三角形应用举例 (1)

距离 高度 角度 有关三角形计算

知识点小结

1、正弦定理：

a sinA b sinB c sinC

可以解决的有关解三角形问题： （1）已知两角和任一边； （2）已知两边和其中一边的对角。 a2=b2+c2-2bccosA 2、余弦定理：

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC 可以解决的有关解三角形的问题： （1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。

创设情境

解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。

测量问题：

1、水平距离的测量

①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，

A B C A C B 2 C A C B cos C 可求得AB的长。

2 2 2

②两点能相互看到，但不能到达。

需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角A然后 由正弦定理，

AB sin C BC sin A

可求边AB的长。

③两点都不能到达 第一步:在△ACD中，测角∠DAC，

由正弦定理 sin

AC ADC

DC sin D A C

求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC，

由正弦定理

BC sin B D C

DC sin D B C

求出BC的长；

第三步:在△ABC中,由余弦定理 A B C A C B 2 C A C B cos C 求得AB的长。

2 2 2

形成结论

在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.

实例讲解

例 1:如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两 点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的 河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， ∠BAC=51°， ∠ACB=75°.求 A、 两点的距离 B (精确到 0.1m).

B A

C

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到 一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条 件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据 三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。

问题 3： ABC 中， △ 根据已知的边和对应角， 运用哪个定理比较适当？

问题 4： 运用该定理解题还需要那些边和角呢？

解：根据正弦定理，得

AB sin ACB

AB

AC sin ABC

55 sin ACB sin ABC 55 sin 75 sin 54

AC sin ACB sin ABC 55 sin 75

sin(180 51 75 )

65.7( m)

答：A,B两点间的距离为65.7米。

例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。

分析：用例1的方法，可以计算出河的 这一岸的一点C到对岸两点的距离，再 测出∠BCA的大小，借助于余弦定理 可以计算出A、B两点间的距离。

解：测量者可