复数基础知识复习
时间:2025-07-11
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复数基础知识复习
1.复数的定义 设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,其中i
叫做虚数单位,满足i2=-1,a叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.i的方幂具有周期性,i4n+k=ik,n∈Z.k∈{0,1,2,3},
如(1)i2
010=
-1009=
.i .
(2)i+i2+i3+…+i2
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2.复数的分类 复数a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0;是纯
虚数的充要条件是a=0且b≠0;是虚数的充要条件 是b≠0. 3.复数相等 两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则 z1=z2a=c且b=d. 4.复数的几何意义 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面,在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴, x轴的单位是1,y轴的单位是i.显然,实轴上的点 都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯 虚数.
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(2)复数z=a+bi 一一对应 有序数对(a,b) 一一对应
点Z(a,b). (3)设 OZ =a+bi,则向量 OZ 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi|,且 a b i a 2 b 2 . 5.共轭复数 如果两个复数实部相等,而虚部互为相反数,则 这两个复数互为共轭复数,即复数z=a+bi的共轭复数为 z=a-bi. 6.复数的运算 (1)复数的加减法运算法则 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i; 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部 与虚部分别相加减.
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(2)复数的乘法①设 z1 a b i, z2 c d i, (a, b, c, d R) 是任意两个
实数,那么它们的积
(a b i)( c d i) (ac bd ) (ad bc) i .②复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加 法的分配律,即对任意 有:z1 z2 z2 z1;
z , z2 , z C, 1 3
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) z1z2 z1z3
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(3)复数的除法
设z1 a b i, z2 c d i( a, b, c, d R 且c d i 0), z1 a b i ac bd bc ad 则 2 2 i. 2 2 z2 c d i c d c d如(1 i) 2 1 i 1 i
2i.
(1 i) 2 -2i ; ;
1 i i 1 i
;
-i
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7、复数的几何意义z a bi (a , b R)一一对应
(a , b)y
平面向量OZ
(a , b)2
复数的模:z | a b |2
实轴
o
x
AB对应的复数 z AB z B z A
虚轴 复平面
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