第5讲曲面、曲线及其方程

高数课件,精彩无限

空间曲面、 第五节 空间曲面、曲线及其方程

一. 空间曲面及其方程 二. 空间 曲线及其方程 第六节 二次曲面的标准方程

高数课件,精彩无限

空间曲面、 第五节 空间曲面、曲线及其方程 一. 曲面及其方程 1. 曲面及其方程 2. 球面及其方程 3. 柱面及其方程 4. 二次柱面 5. 旋转曲面及其方程

高数课件,精彩无限

1. 曲面及其方程 在空间中建立直角坐标 系后, 点就与有序的三个实数 建立了对应关系。

空间中的曲面可以用包含变量 x, y, z 的方程来描述。对曲面的几何性质的研究可归结为对相应的方程的解析

性质的研究。

高数课件,精彩无限

曲面方程在空间 R 3 中, 点 M ( x, y, z ) 位于一张曲面 Σ 上的充要条件是点 M 的坐标 x, y, z 满足方程

F ( x, y , z ) = 0 。 方程 F ( x, y, z ) = 0 称为 Σ 的曲面方程。

R 3 中的曲面Σ 是指空间中的点集 :Σ = {( x, y, z ) | F ( x, y, z ) = 0 , ( x, y, z ) ∈ R 3 }。

高数课件,精彩无限

例

已知动点 M ( x, y, z ) 恒保持与两定点 A(2, 3, 2), B( 1, 4, 2) 等距 , 求动点的轨迹方程。

解

动点 M 应满足条件 : || MA || = || MB || , 即有

( x 2) 2 + ( y ( 3)) 2 + ( z 2) 2 = ( x 1) 2 + ( y 4) 2 + ( z ( 2)) 2 。

两边平方, 整理后得动点 M 的轨迹方程为x 7 y + 4z + 2 = 0 。

M

这是线段 AB 的垂直平分平面。

A

B

π

高数课件,精彩无限

2. 球面及其方程

球面及其方程在空间 R 3 中, 到定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的距离

等于 r 的点的集合, 称为一个以点 M 0 为中心,以r 为半径的球面。该球面的方程为

( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 = r 2。

球心位于坐标原点 , 半径等于 r 的球面的方程为

x 2 + y 2 + z 2 = r 2。

高数课件,精彩无限

将球面方程 ( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 = r 2 展开, 得2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 2 xx0 2 yy0 2 zz0 + x0 + y0 + z0 r 2 = 0 。

由此发现:1. 球面方程是一个关于 x, y, z 的二次方程, 其二次项系数相等。

2. 球面方程不含二次混合项 xy, yz, xz 。

3. 任何一个满足上述两条的三元二次方程必为球面方程 ?

高数课件,精彩无限

设有满足条件 1 和 2 的三元二次方程

Ax 2 + Ay 2 + Az 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 ,则 x2 + y 2 + z 2 + D E F G x+ y+ z+ = 0, A A A A

( A ≠ 0)

配方后, 得D E F D 2 + E 2 + F 2 4 AG , x+ + y+ + z + = 2 2A 2A 2A 4A 2 2 2

当 D 2 + E 2 + F 2 4 AG > 0 时, 为一球面 ; 当 D 2 + E 2 + F 2 4 AG = 0 时, 为一点 ;

高数课件,精彩无限

例

方程 x 2 + y 2 + z 2 + 6 x 8 y = 0 表示什么曲面？

解

将方程配方后, 得( x + 3) 2 + ( y 4) 2 + z 2 = 25 ,

故原方程表示以点 M ( 3, 4, 0) 为中心, 半径等于 5 的球面。

高数课件,精彩无限

3. 柱面及其方程

柱面的概念在空间 R 3 中, 与某定直线 L* 平行的直线 L ,沿已知曲线 Γ 平行移动所生成的曲面, 称为柱面。

已

知曲线 Γ 称为柱面的准线； 柱面上与定直 线 L* 平行的直线称为柱面的母线。* L

柱面通常以其准线的名称来命名。

L

Γ

高数课件,精彩无限

柱面的方程 设柱面 S 的准线为 xy 平面上的曲线 Γ : F ( x, y ) = 0 ,

柱面的母线平行于 z 轴, 求此柱面的方程。z在柱面上任取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,

过点 M 0 作直线平行于 z 轴, 交 xy 平面 M0

y

于点 M ( x0 , y0 , 0 ) 。点 M 必在准线 Γ 上, 其坐标满足 F ( x0 , y0 ) = 0 。

x

OΓ

M

故点 M 的坐标满足方程 F ( x0 , y 0 ) = 0 .

高数课件,精彩无限

柱面的方程 设柱面 S 的准线为 xy 平面上的曲线 Γ : F ( x, y ) = 0 ,

柱面的母线平行于 z 轴, 求此柱面的方程。z

P(x1, y1, z)

M0

yM ( x, y, z ) 在柱面 S 上 M ( x, y, z ) 的坐标满足 F ( x, y ) = 0 。

x

OΓ P(x , y ,0) 1 1 1M

高数课件,精彩无限

在 间R3 中, 只 变 x, y 而 少 量z 的 程 空 含 量 缺 变 方

F(x, y) = 0 ,为母线平行于z 轴 准线为xy 平面上的曲线 ,

F(x, y) = 0 z =0的柱面的方程。 (柱面方程)

高数课件,精彩无限

类 地: 似

F( y, z) = 0 为母线平行于x 轴的柱面方程。 F(x, z) = 0 为母线平行于y 轴的柱面方程。

高数课件,精彩无限

例

在 R 3 中, 下列方程表示什么曲面？

1. x 2 + y 2 = 1。 圆柱面

母线平行于 z 轴, 准线为 xy 平面上的单位圆:x2 2. + z 2 = 1。 椭圆柱面 4 母线平行于 y 轴, 准线为 xz 平面上的椭圆: 3. z y = 0 。 实际上是平行于x 轴的平面。 母线平行于 x 轴, 准线为 yz 平面上的直线 :

x2 + y 2 = 1 z = 0。x2 + z2 = 1 4 y = 0。 z y=0x = 0。

高数课件,精彩无限

二次柱面及其方程准线为坐标面上的二次曲线的柱面, 称为二次柱面。1. 圆柱面 :

z

( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2。 ( y a ) 2 + ( z b) 2 = r 2。 ( x a ) 2 + ( z b) 2 = r 2。 xOΓ : ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2

y