河南省中考数学考法分析

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许昌市教研室 长葛市教研室 魏都区教研室

谷晓凯 陈彦民 吴志勇

河南省中考数学考法分析

一、河南省中考命题依据

1、《关于ⅹⅹ年普通高中招生工作的意见》 2、《数学课程标准》 3、《2009年河南省初中毕业生学业考试说明与 检测》

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二、命题原则注重考查学生对重要知识与技能的掌握情况， 特别是在具体情景中运用所学知识与技能分析 和解决问题的能力。加强试题与社会实际和学 生生活的联系，杜绝设置偏题、怪题。 考查内容体现基础性；试题素材、求解方式 体现公平性；试题背景具有现实性。

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三、命题特点1、重视对数学核心内容的考查①核心内容即双基 ②新增内容：概率、几何变换、视图投影。 ③淡化内容：证明技巧、相似、圆。

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2、注重对数学应用意识的考查 (1)着重考查学生是否具有数学的眼光看待现实世界 的数学应用能力，是否具有将实际问题转化为数学模 型的数学建模能力. (2)考查是否能够将自己解决问题的过程用严谨、规范、 完整的数学语言表达出来。 (3)试题背景来源于学生所能理解的生活现实，应用性 问题的题材具有鲜明的时代特征，能够在学生的生活 中找到原型。 3、加大对开放性、探索性试题的考查力度

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4、重视对数学思想和方法的考查在近几年的中招考试中，以有关知识为载 体，以蕴含其中的数学思想方法为重要考查目 的，有针对性地设计了一些试题，加强了对数 学思想方法的考查力度，体现了数学思想方法 是数学的核心和灵魂的地位，近几年突出考查 的数学思想方法有： ① 化归与转化思想 ② 分类讨论思想 ③ 数形结合思想④ 函数与方程思想(数学建模) ⑤ 配方法 ⑥ 待定系数法 5、动态型试题压轴把关

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( 年 如 ， 平 直 坐 系 ， 线y 4 x 4 06 ) 图 在 面 角 标 中 直 3 分 交x 轴 y 轴 A ,B 两 . 别 ， 于 点 ( 1) A ,B 两 的 标 求 点 坐 ； ( 2) P 是 线AB 上 动 ( P 与 A 不 合 ， P 设 直 一 点 点 点 重 ) 始 和x 轴 切 和 线AB 相 于 ， 两 ( C 的 终 相 ， 直 交 C 点 点 D 横 标 于 D 的 坐 ) 设P 点 横 标 m , 坐 小 点 横 标 . 的 坐 为 试 用 有m 的 数 表 C 点 横 标 含 代 式 示 的 坐 ； ( 3) ( 在 2) 条 下 若 C 在 . AB 上 求m 为 的 件 ， 点 y 线. 段 ， 何 时 △BOC 为 腰 角 . B 值 ， 等 三 形O

A

x

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解： (1)当 x 0 时， y 4 ;当 y 0 时， 4 x 4 0 , x 3 .3

A 3, , B 0, . ···················2 0 4 ··················· ···················

分

(2)设点 C 的横坐标为 n .由(1)知 AB sin ∠OBA 3 . 5

OA2

OB 2 5 ,y B

过 C 作 CE ⊥ x 轴于 E ,过 P 作 PG ⊥ x 轴于 G ,PF ⊥CE 于 F ,

CF

P D

则 ∠FCP ∠OBA , PF m n . ①当 m 3 时， PC PG 4 m 4 ,3

O EGA

x

PF PC ∠FCP PC ∠OBA , sin sin 4 3 m n m 4 . 3 5

解得 n 9 m 12 .···················· 分 ···················5 ···················5 5

②当 m 3 时， PC PG 4 m 4 , PF PC sin∠FCP PC sin∠OBA , m n 4 m 4 3 .解得 n 1 m 12 . 7 分 3 3 5

5

5

(3)当点 C 在线段 AB 上时，由(2)知， C 点的横坐标 n 9 m 12 ,5 5

以下两种情况 △BOC 为等腰三角形. ①当 CB CO 时， △OBA 是直角三角形， ∠BOA 90 . 此时 C 为 AB 的中点， C 点的横坐标为 3 .

2

9 12 3 13 ··············9 ·············· m ,解得 m .··············· 5 5 2 6

分5

②当 CB OB 时， AB 5 , AC AB CB 1, AE AC cos∠OAB 3 .9 12 3 8 OE AE OA , m 3 ,解得 m . 5 5 5 3

OB OA , 在线段 AB 上不存在点 C ,使 OC OB .

所以，当 m 13 或 m 8 时， △BOC 为等腰三角形. ·11 分 · ·6 3

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考查的知识点主要有：求直线与坐标轴的交 点、勾股定理、三角函数的应用、切线的性质、 解一元一次方程、确定点的坐标、等腰三角形的 判定、直角三角形的性质等.另外，试题还考查 了分类讨论思想、运动思想和方程思想. 本题平均分仅2.2分，难度系数0.2,没有学生 得满分，得0分的学生有25%,有41%的学生只 得2分，即只做对了第一问. 学生反映出的问题主要有：一是不明白⊙P的运 动过程中三个动点P、C、D的关系；二是漏掉 了⊙P在x轴下方的情况；三是忽视了第四象限 内点的纵坐标为负.

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年

如图，对称轴为直线x= 7 的抛物线经过点A(6,0) 2 和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第 四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边 形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围； y 7 (3)①当四边形OEAF的面 x= 2 积为24时，请判断OEAF是否 为菱形？ B(0,4) ②是否存在点E, F 使四边形OEAF为正方形？ A(6,0) x O 若存在，求出点E的坐标； E 若不存在，请说明理由.

07

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(1)由抛物线的对称轴是 x

7 7 ,可设解析式为 y a x k . 2 2

2

a 6 把 A B 两点坐标代入上式，得 , a

0 2 25 解之，得 a ,k . 3 62

7 k 0, 2 7 k 4. 2 2

2

故抛物线解析式为 y

2 7 25 25 7 ,顶点为 , ············ 3 ············ x . ············· 分 3 2 6 6 2 2 7 25 , x 3 2 62

(2)∵点 E ( x,y ) 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y

∴ y 0 ,即 y 0 , y 表示点 E 到 OA 的距离.

∵OA 是 OEAF 的对角线， 1 ∴ S 2S△OAE 2 OA y 6 y · 27 ································· ································· 4 x 25 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 2 因为抛物线与 x 轴的两个交点是 (1 0) 和 (6, , 0) , 所以，自变量 x 的取值范围是 1 x 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ······················· 7 ······················· ①根据题意，当 S 24 时，即 4 x 2

7 25 24 . 2

2

化简，得 x

7 1 .解之，得 x1 3,x2 4 . 2 4

2

, 故所求的点 E 有两个，分别为 E1 (3 4) , E2 (4, 4) .· · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ················ ··············· , 点 E1 (3 4) 满足 OE AE ,∴ OEAF 是菱形；点 E2 (4, 4) 不满足 OE AE ,所以 OEAF 不是菱形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ······························· 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 ②当 OA EF ,且 OA EF 时， OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是 (3 3) . , 而坐标为 (3 3) 的点不在抛物线上， , 故不存在这样的点 E ,使 OEAF 为正方形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ···················· ····················

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考查的知识点主要有：求抛物线解析式、平 行四边形的性质、解一元二次方程、菱形的性 质、正方形的判定、勾股定理等.另外，本题还 考查了数形结合、函数、对称等数学思想. 本题平均分仅2.3分，难度系数0.2,得满分 的只有3%,得0分的学生有35%,有87%的学 生得分在4分以下(含4分).这说明大多数学生 仅处理了一问. 学生反映出的问题主要有：一是不能找到合 适的方法求抛物线的解析式；二是第二问中函 数自变量的取值范围不会找；三是不能

对点E 的不存在说出理由.

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08年：(12分)如图，直线和x轴、y轴的交点分别为 y B、C,点A的坐标是(-2,0). C (1)试说明△ABC是等腰三角形； (2)动点M从A出发沿x轴向点B O B 运动，同时动点N从点B出发沿 A x 线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位 长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运 动.设M运动t秒时，△MON的面积为S. ① 求S与t的函数关系式； ② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？ 若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的 值.

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(1)将 y 0 代入 y 将 x 0 代入 y

4 x 4 ,得 x 3 , 点 B 的坐标为 (3, ; 0) 3

4 x 4 ,得 y 4 , 点 C 的坐标为 (0, .·················2 分 4) ················· 3 在 Rt△OBC 中， OC 4 , OB 3 , BC 5 .又 A( 2, , AB 5 , AB BC , ABC 是等腰三角形.· · · · · · · · · · 4 分 ·········· ·········· △ 0) (2) AB BC 5 ,故点 M,N 同时开始运动，同时停止运动. 过点 N 作 ND x 轴于 D , y 则 ND BN OBC sin

4 t, 5

C

①当 0 t 2 时(如图甲) ,

OM 2 t , 1 1 4 N S OM ND (2 t ) t 2 2 5 2 4 DB A MO x ··························· ··························· t 2 t . ······················································7 分 5 5 图甲 y 当 2 t ≤ 5 时(如图乙) OM t 2 , , 1 1 4 C S OM ND (t 2) t 2 2 5 2 4 ················· 8 ················· t 2 t .··································· 分 N 5 5 (注：若将 t 的取值范围分别写为 0 ≤ t ≤ 2 和 2 ≤ t ≤ 5 ,不扣分) ②存在 S 4 的情形. O M D B A x 2 4 当 S 4 时， t 2 t 4 . 图乙 5 5解得 t1 1 11 , t2 1 11 (不合题意，舍去) .

t 1 11 5 ,故当 S 4 时， t 1 11 秒. ····························10 分 ·············· ··············③当 MN x 轴时， △MON 为直角三角形.

3 MB BN MBN t ,又 MB 5 t . cos 5 3 25 t 5 t , t . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · 11 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·········· ·········· ········· 5 8 当点 M,N 分别运动到点 B,C 时， △MON 为直角三角形， t 5 . 25 故

△MON 为直角三角形时， t 秒或 t 5 秒.· · · · · · · · · · ·· · · · · · · 12 分 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · ·········· ······· 8

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考查的知识点主要有：一元一次方程、一元 二次方程、一次函数、二次函数、等腰三角形的 性质、直角三角形的性质等.另外，试题还考查 了分类讨论思想、运动思想、方程思想和函数思 想等. 本题平均分仅3.79分，难度系数0.32,得满 分的只有2%,得0分的学生有27%. 学生反映出的问题主要有：一是不能根据题 意找出△MON;二是没有根据点的运动情况分 段讨论得出相应的函数关系式；三是解一元二次 方程出错；四是最后一问中漏掉了t = 5这种情 况.

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四、试卷结构1、试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分， 考试时间100分钟. 2、试卷题型包括选择题、填空题和解答题.这 三种题型分数所占比例为：选择题15%,填空 题22.5%,解答题62.5%.

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3、试题中数与代数、空间与图形、统计与概率的分值所 占比例如下表。

06年 数与代数 共53分 占44.2% 空间与图 共49分 形 占40.8% 统计与概 共 18分 率 占15%

07年 共44分 占36.7% 共55分 占45.8% 共21分占 17.5%

08年 共50分占 41.7% 共49分占 40.8% 共21分占 17.5%

4、难度系数0.65(2005年);0.54(2006年);0.65(2007 年)0.66(2008年)。

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五、考法分析(一)、数与代数 考法设计注重双基，注重方程与函数等核心 内容；注重数学思想(方程思想、函数思想、 转化思想等)

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1、数与式①相关试题多以容易题形式出现 ②以围绕计算和式的变形为多(06 河南)计算： 2 3

2 3 2006

2007

2 cos 30 2

.0

(08 河南)先化简，再求值：a 1 a 1 2 ,其中 a 1 2 . a 1 a 2a 1 a

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2、方程与不等式①技能层面上多以考方程、不等式解法为主。(07 年)解方程： x 2 x 2 3. (08 年)3.不等式 x 5 0 的解集在数轴上表示正确的是 【 】0A

3x

2

5

-5B

0

0C

5

-5D

0

②常规层面上的列方程或不等式解应用题多以情景化形式 出现。

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(06 年)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案： 在甲超市累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之 后，超出部分按原价 9 折优惠.设顾客预计累计购物 x 元(x>300) . (1) 请用含 x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由. .解： (1)在甲超市购物所付的费用是： 300 0.8 x 300 0

.8 x 60 元； 在乙超市购物所付的费用是： 200 0.85 x 200 0.85 x 30 元.………4 分 (2)当 0.8x 60 0.85x 30 时，解得 x 600 . 当顾客购物 600 元时，到两家超市购物所付费用相同； ··········6 分 当 0.8x 60 0.85x 30 时，解得 x 600 ,而 x 300 , 300 x 600 . 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时，到乙超市更优惠； ·········8 分 当 0.8x 60 0.85x 30 时，解得 x 600 , 即当顾客购物超过 600 元时，到甲超市更优惠. ··············10 分