高中数学 1.2.1导数的计算课件2 新人教A版选修2-2

3.2导数的计算

1.2.1 几种常见函数的导数

回顾求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 );(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x

回顾求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

y y f ( x0 )( x x0 ).0

函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

y f ( x x) f ( x) f ( x) y lim lim x 0 x x 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

f ( x) 3xf(x)在x=x0处的导数

2

关系'

f(x)的导函数

f ( x0 ) 6 x0'

f ( x) 6x

x=x0时的函数值

基本初等函数的导数公式' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx n-1 (n R)

3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx 5.若f(x)=a ,则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ,则f(x)=e' x ' x x ' x '

'

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x

看几个例子: log x,求曲线在点 例3.已知y 2

x 2处的切线方程.1 2 y ( x 2) 2 2ln 2

例4.已知y cos x,求曲线在点 5 x 处的切线方程. 6 3 1 5πy (x ) 2 2 6例5:求下列函数的导数 1 (1). y 4 ; x (2). y x x.

y 4x 1 3 2 ' y x 2'

5

导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)

例4:求下列函数的导数:

1 2 答案: (1) y 1 4 ; (1) y 2 ; x2 x3 x x 1 x2 x (2) y ; 2 2 (2) y ; (1 x ) 2 1 x 1 (3) y ; (3) y tan x; 2cos x

1 4 例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= t 4 3 2

-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s (t ) t 3 12t 2 32t , 令s (t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.