希尔伯特变换与傅立叶变换
时间：2026-01-18
希尔伯特变换与傅立叶变换
希尔伯特转换定义如下：
其中
并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在
等处的奇点。 另外要指出的是： 若
，则
可被定义，且属于
；其中
。 以及
频率响应
希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：
,
其中
是傅立叶变换， 是角频率，以及
i (有时写作j )是虚数单位，
希尔伯特变换与傅立叶变换
即为符号函数。
既然：
,
希尔伯特转换会将负频率成分
偏移+90°，而正频率成分偏移 90°。
反（逆）希尔伯特转换
我们也注意到：
。因此将上面方程式乘上
从中，可以看出
反（逆）希尔伯特转换
，可得到：
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 傅里叶变换属于谐波分析。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
希尔伯特变换与傅立叶变换
卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数傅里叶变换
和
都存在，和为任意常系数，则
；傅里叶变换算符
符。
可经归一化成为幺正算
和
的
平移性质
若函数换，且有
存在傅里叶变换，则对任意实数
，函数
也存在傅里叶变
是傅里叶变换的作用算子，
。
。式中花体
平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位
微分关系
若函数
当
时的极限为0，而其导函数
的傅里叶变换存在，则有
，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以
因子
。更一般地，若
存在，则
原函数的傅里叶变换乘以因子
。
，且
，即k 阶导数的傅里叶变换等于
卷积特性
若函数
及
都在
上绝对可积，则卷积函数
（或者
傅里叶变换存在，且
。卷积性质的逆形式为
）的
希尔伯特变换与傅立叶变换
，即两个函数卷积的傅里
叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以
。
帕塞瓦尔定理
若函数可积且平方可积，则。其
中F(ω)
是f(x) 的傅里叶变换。 更一般化而言，若函数
和
皆平方可积，则
。其中F(ω) 和G(ω) 分别是
f(x) 和g(x) 的傅里叶变换, *代表复共轭。
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”(连
续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通讯或是讯号处理方面，常以
来代换，而形成新的变换对:
希尔伯特变换与傅立叶变换
或者是因系数重分配而得到新的变换对：
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（cosine transform）或正弦转换
（sine transform）.
另一个值得注意的性质是，当f（t
）为纯实函数时，F( ω) = F*(ω)成立.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中
为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中an和bn是实频率分量的振幅。
希尔伯特变换与傅立叶变换
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
离散时间傅里叶变换
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