九年级数学圆心角_弧_弦_弦心距的关系课件人教版

一、概念圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.

A O· BO

弦心距：圆心到弦的距离。A D B

1、判别下列各图中的角是不是圆心角，

并说明理由。

①

②

③

④

二、 探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？A′ B B′ B′A′ B

O

·

A

O

·

A

根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB=∠A′OB′,射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合.而同圆的半径相等，OA=OA′,OB=OB′,∴点 A与 A′重 合，B与B′重合.

∴ 与A’B’ 重合，AB与A′B′重合. AB ∴

AB=A’B’

AB A ' B '.

三、圆心角与弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 相等 _____, 所对的弦________;同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 相等 ______,所对的弧_________. 它们所对应的其 余各组量也相等.

练习如图，AB、CD是⊙O的两条弦.

AOB COD AB CD (1)如果AB=CD,那么___________,_________________.(2)如果

AOB COD AB=CD AB CD ,那么____________,_____________.

AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,_________. AB CD

(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B 证明： OE AB, OF CD A 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB=CD AE=CF F 又 OA=OC Rt AOE Rt COF C OE OF .

·

下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 AOB A OB 根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：

AB A B A A

⌒

⌒

O

B B

练习11.下列命题中真命题是( ) A。相等的弦所对的圆心角相等。 B、圆心角相等，所对的弧相等。 C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。 D、长度相等的弧所对的圆心角相等。2、在⊙O中， AB = AC ,∠B=70°,则∠A= ___B 3、如图：AB为⊙O的直径， = CD = DE , BC ∠COD=35°, 则∠AOE=____度。 A E D C

A

OC

o

B

4.如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，

且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长 线交OB延长线于C。已知∠C=250,求圆心 角∠DOB的度数， A D O B C

5.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒ , ∠COD=35°, BC CD DE 求∠AOE的度数.解： E D C

⌒

= ⌒ = ⌒ BC CD DE

BOC= COD= DOE=35

A

O

·

AOE 180 3 35 B

75

∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.则每一

份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.

n°弧

n°

1°1°弧

n º 的圆心角对着nº 的弧,n º 的弧对着nº 的圆心角.

性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.

小结

四、例题选讲例1 如图, 在⊙O中， AB AC ,∠ACB=60°,

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.

A

证明： ∵ AB=AC. ∴ AB=AC. 又∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形.B O

·C

∴ AB=BC=CA.∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

例2:如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的

1 3

,圆的半径为4cm,求AB的长

O

A C

B

A

知识延伸B

如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)

O

D

C

点此继续

练习1如图，已知AB、CD为 ⊙O的两条弦， AD=BC ,求证AB=CD.C B O D A

练习2已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的 中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于 C.D点。 求证：AC=BD D A M

O

·

N

B

C