递推数列题型归纳

递推数列

高考数学递推数列题型归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 an 1 an f(n)

解法：把原递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 an 满足a1

12，a 1n 1 ann2 n

，求an。 解：由条件知：an 1 an

1n2

n

111

n(n 1) n n 1 分别令n 1,2,3, ,(n 1)，代入上式得(n 1)

个等式累加之，(a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (an an 1)

(1 12) (12 13) (13 14) (11

n 1 n

)

所以a a1

n1 1 n

a111311 2， an 2 1 n 2 n

变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）

已知数列{an}中a1 1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通项公式.

解： a2k a2k 1 ( 1)k，a2k 1 a2k 3k

ak2k 1 a2k 3 a2k 1 ( 1)k 3k，即a2k 1 a2k 1 3k ( 1)k

a3 a1 3 ( 1)，a5 a3 32 ( 1)2…… ……a2k 1 a2k 1 3k ( 1)k

将以上k个式子相加，得

aa ( 1)2 ( 1)k] 31

2k 1 1 (3 32 3k) [( 1)2(3k 1) 2

[( 1)k 1]

将a1k 11k

1 1代入，得a2k 1 2 3 2( 1) 1，

aa 11

2k 2k 1 ( 1)k2 3k 2

( 1)k 1。

1n 1

1n 32 1 ( 1)2

1(n为奇数)经检验aa 221 1也适合， n

1nn

32 2

12 ( 1)2 1(n为偶数)即

递推数列

类型2 an 1 f(n)an 解法：把原递推公式转化为例:已知数列 an 满足a1

解：由条件知

an 1

f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2n

an，求an。 ，an 1

3n 1

an 1n

，分别令n 1,2,3, ,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式累乘之，即

ann 1

aaa2a3a4123n 1221

n n 又 a1 ， an

n33na1a2a3an 1234a1n

例:已知a1 3，an 1

解：an

3n 1

an (n 1)，求an。 3n 2

3(n 1) 13(n 2) 13 2 13 1

a1

3(n 1) 23(n 2) 23 2 23 2

3n 43n 7526 3 3n 13n 4853n 1。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 (n≥2)，

则{an}的通项an

n 1 1

n 2___

解：由已知，得an 1 a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 nan，用此式减去已知式，得

当n 2时，an 1 an nan，即an 1 (n 1)an，又a2 a1 1，

a1 1,

aaa2an!

1,3 3,4 4, ,n n，将以上n个式子相乘，得an (n 2)

2a1a2a3an 1

类型3 an 1 pan q（其中p，q均为常数，(pq(p 1) 0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t)，其中t 等比数列求解。

例:已知数列 an 中，a1 1，an 1 2an 3，求an.

解：设递推公式an 1 2an 3可以转化为an 1 t 2(an t)即an 1 2an t t 3.故递推公式为

q

，再利用换元法转化为1 p

an 1 3 2(an 3),令bn an 3，则b1 a1 3 4,且

bn 1an 1 3

2.所以 bn 是以b1 4为bnan 3

递推数列

首项，2为公比的等比数列，则bn 4 2n 1 2n 1,所以an 2n 1 3.

变式:（2006，重庆,文,14）

在数列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3(n 1)，则该数列的通项an _______________ （key:an 2n 1 3）

变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列 an 满足a1 1,an 1 2an 1(n N*). （I）求数列 an 的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4142 4n

b 1b 1

b 1

(an 1)bn(n N*),证明：数列{bn}

是等差数列；（Ⅲ）证明：

an1a1a2n

... n (n N*). 23a2a3an 12

（I）解： an 1 2an 1(n N*), an 1 1 2(an 1), an 1 是以a1 1 2为首项，2为公比的

等比数列 an 1 2n.

即 an 2n 1(n N*).

k 1

（II）证法一： 4142...4n

k 1k 1

(an 1)kn. 4(k1 k2 ... kn) n 2nkn.

2[(b1 b2 ... bn bn 1) (n 1)] (n 1)bn 1. ②

2[(b1 b2 ... bn) n] nbn, ①

②－①，得2(bn 1 1) (n 1)bn 1 nbn,即(n 1)bn 1 nbn 2 0, nbn 2 (n 1)bn 1 2 0.

③－④，得 nbn 2 2nbn 1 nbn 0,即 bn 2 2bn 1 bn 0,

bn 2 bn 1 bn 1 bn(n N*),

bn

证法二：同证法一，得 (n 1)bn 1 nbn 2 0 令n 1,得b1 2. 设b2 2 d(d R),下面用数学归纳法证明 bn 2 (n 1)d.

（1）当n 1,2时，等式成立 （2）假设当n k(k 2)时，bk 2 (k 1)d,那么

k2k2bk [2 (k 1)d] 2 [(k 1) 1]d. k 1k 1k 1k 1这就是说，当n k 1 bk 1

根据（1）和（2），可知bn 2 (n 1)d对任何n N都成立

*

bn 1 bn d, bn

ak2k 12k 11aaan k 1 ,k 1,2,...,n, 1 2 ... n . （III）证明：

ak 12 12(2k 1)2a2a3an 12

2

递推数列

ak2k 11111111 k 1 .,k 1,2,...,n, ak 12 122(2k 1 1)23.2k 2k 2232k

aa1a2n1111n11n1

... n ( 2 ... n) (1 n) , a2a3an 12322223223

an1aan

1 2 ... n (n N*). 23a2a3an 12

变式:递推式：an 1 pan f n 。解法：只需构造数列 bn ，消去f n 带来的差异．

类型4 an 1 pan qn（其中p，q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)）。 （或an 1 pan rqn,

其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn 1，得：

an 1pan1

引入辅助数列 bn （其中qn 1qqnq

bn

anp1

b b ），得：再待定系数法解决。 n 1nn

qqq

例:已知数列 an 中，a1

511n 1

,an 1 an ()，求an。 632

11n 12nn 1n 1

解：在an 1 an ()两边乘以2得：2 an 1 (2 an) 1

323

b22n1n1n

3() 2() 令bn 2n an，则bn 1 bn 1,解之得：bn 3 2()所以an n

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