【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《简单的三角恒等变换》

3.4 简单的三角恒等变换 考纲点击 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

考点梳理 1.降幂公式 2α sin 2=①__________(用 cosα 表示) 2α cos 2=②__________(用 cosα 表示) 2α tan =③__________(用 cosα 表示) 2

2.半角公式 1-cosα α sin2=± 2 1+cosα α cos2=± 2 1-cosα 1-cosα α sinα tan =± = = 2 sinα 1+cosα 1+cosα α 其符号由2所在的象限决定.

3.积化和差公式 1 sinαcosβ=2[sin(α+β)+sin(α-β)] 1 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 1 cosαcosβ=2[cos(α+β)+cos(α-β)] 1 sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)] 2

4.和差化积公式 θ+φ θ-φ sinθ+sinφ=2sin 2 cos 2 θ+φ θ-φ sinθ-sinφ=2cos 2 sin 2 θ+φ θ-φ cosθ+cosφ=2cos 2 cos 2 θ+φ θ-φ cosθ-cosφ=-2sin 2 sin 2

1-cosα 答案：① 2

1+cosα ② 2

1-cosα ③ 1+cosα

考点自测 1. 2-sin22+cos4等于( ) A.sin2 B.-cos2 C. 3cos2 D.- 3cos2

解析： 2-sin22+cos4= 2-sin22+2cos22-1 = 3cos22=- 3cos2. 答案：D

(

π π 2.若 sinα=cosβ,- <α< ,0<β<π,则 α+β 的值为 2 2 ) 3π π A. B.π C. D.0 2 2

解析：由

π π ∵-2<α<2,0<β<π, π π π ∴-2<2-β<2, π ∴α=2-β, π ∴α+β=2. 答案：C

π sinα=cosβ,∴sinα=sin 2-β .

3.设 p=cosαcosβ,q=cos 是( ) A.p<q B.p>q

2α+β

2 ,那么 p,q 的大小关系 D.p≥q

C.p≤q

解析：p-q=cosαcosβ-cos

2α+β

2

1 =cosαcosβ-2[1+cos(α+β)] 1 = (cosαcosβ+sinαsinβ-1) 2 1 =2[cos(α-β)-1]≤0, ∴p≤q. ∴选 C. 答案：C

4.求值：sin50° (1+ 3tan10° )=__________. 1 解析：原式=2sin50° + × 2 3sin10° 2cos10° cos60° cos10° +sin60° sin10° =2sin50° × cos10° 2sin50° cos50° = cos10° sin100° = cos10° =1. 答案：1

5.设 0≤x<2π,且 1-sin2x=sinx-cosx,则 x 的取值 范围是__________.

解析： 1-sin2x= sinx-cosx 2=|sinx-cosx|. 由题设，得|sinx-cosx|=sinx-cosx. ∴sinx-cosx≥0,∴sinx≥cosx. π 5π ∵0≤x<2π,∴4≤x≤ 4 . π 5π 答案： 4, 4

疑点清源 1.三角恒等变换的两个原则 (1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名 函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理 式为有理式. (2)清除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端 以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异. 注意：要正确把握公式的结构，明确变形方向，才能准确 地应用公式，达到求

解目的.

2.三角函数式的化简 (1)化简的要求 ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数.

(2)化简的思路 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角 分式， 基本思路是分子与分母约分或逆用公式； 对于二次根式， 注意二倍角公式的逆用. 另外， 还可以用切割化弦、 变量代换、 角度归一等方法. (3)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等.