微积分公式与运算法则

微积分公式与运算法则

1.基本公式

（1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(x

(ax)ˊ= axlna d(a

(logax)ˊ= 1/(xlna) d(loga

(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc

(arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2

(arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x(arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x(sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx

μ)= μxμ-1 dx x)= axlna dx x)= 1/(xlna) dx 2 x dx 2 x dx ·tan x dx x)= -csc x·cot x dx x)= 1/(1-x2)1/2 dx x)= -1/(1-x2)1/2 dx 2) dx 2) dx d(arccos

2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）

（1） 函数的线性组合积、商的求导法则

（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ （μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2

（2） 函数和差积商的微分法则

d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ

d（μυ）=υdμ+μdυ

d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2

3.复合函数的微分法则

设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)

所以复合函数的微分为

dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx

由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ

由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式 dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。