第六章 多元函数

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课堂练习1参考答案

【练习3】设x y z e

2 (y z)

,

z z 2z

求,,.

x y x y

解1：设

F(x,y,z) x2 y z e (y z),

Fy 1 e (y z),

那么

Fx 2x,

于是最后

Fz 1 e (y z),

F z2x x , xFz1 e (y z)

Fy z1 e (y z)

1. yFz1 e (y z)

2x(1 z y)e (y z) 2z z 2x

0. (y z) (y z)2

x y y x y 1 e[1 e]

解2：原式两边求微分得

2xdx dy dz (dy dz)e (y z),

2x

dz dx dy,由此得 (y z)

1 e z2x z , 1. (y z) x1 e y

2x(1 z y)e 2z z 2x x y y x y 1 e (y z) [1 e (y z)]2

(y z)

那么

最后 0.

【练习 3】

设

x y z e2

( y z )

,

z z 2z 求 , , . x y x y

解 3: 原式两边关于 y 求偏导得 2 x z x z x e ( y z ) , 解得 z 2x z x ; x 1 e ( y z ) 原式两边关于 y 求偏导得 1 z y (1 z y ) e ( y z ) , 即 解得 z 1 . y (1 z y )[1 e ( y z ) ] 0 ,

2 x (1 z y ) e ( y z ) 2z z 2x 最后 0. x y y x y 1 e ( y z ) [1 e ( y z ) ]2 【注】由于式中函数都 是初等的，故所有偏导 函数连续，所以易得 2z 2z z y x ( 1) 0 . x y y x x

【练习 4】

证明极限不存在 lxi m 0y 0

xy 1 1 . x2 y2

证：令 y=kx,那么limx 0 y kx

xy 1 1 xy k lim 2 lim , x 0 ( x y 2 )( xy 1 1) x 0 x2 y2 (1 k 2 )( kx2 1 1) y kx y kx

若 k 0 , 则 lim

xy 1 1 0, x 0 x2 y2 y 0 xy 1 1 k 1 若 k 1 , 则 lim lim , 2 2 2 2 x 0 x 0 x y 4 y x y x (1 k )( kx 1 1)

由于沿两条不同途径(x,y)→(0,0) 时原式有不同极限值，所以原式极限不存在 !

【练习5】解：因为收益为

R 1000x 2000y，所以利润为

L R C 1000x 2000y 2x2 2y2

1000 4x,Lx

2000 4yLy

，

4,A Lxx

令

0,B Lxy 4,C Lyy

1000 4x 0 Lx

Ly 2000 4y 0

得唯一驻点为（250，500）.

因B2 AC 0 ( 4)2 0,且A 4 0,故L取极大值.

又根据实际问题，L在x>0, y>0 范围内一定有最大值，所以唯一的驻点（250，500）是最大值点. 即当甲产品生产250件，乙产品生产500件时，才能使利润最大，最大利润为62.5万元.

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课堂练习3参考答案

【练习 3】

f 有连续偏导，求由 f ( y x, yz) 0 确定函数 z z x, y 的偏导. f1 y z f 2 0 , x

解： 原式两边关于求 x 偏导得 f1 ( y x) f 2 ( yz ) 0 x x f1 z 解得 . x y f 2 原式两边关于求 y 偏导得 f1 ( y x) y f 2 ( yz ) y 0 解得 f z f 2 z 1 . y y f 2

f1 ( z y z ) f 2 0 , y

【练习 4】 设

z x, y x 2e y ( x 1) arcsin

y ,求(1,0)处的偏导数和全微分. x

d 解：z (1,0) z ( x,0) ( x 2 )' |x 1 2 , x dx x 1 d z (1, 0) z (1, y ) (e y )' | y 0 1, y dy y 0

dz |(1,0) z (1,0)dx z (1,0)dy 2dx dy . x y【练习 5】 某工厂生产两种商品的日产量分别为 x 和 y (件),总成本函数 C ( x, y) 6 x2 xy 19 y 2 (元), 商品的限额为

x y 56

,求最小成本？ 设拉格朗日函数

解: 约束条件为

( x, y) x y 56 0 ,

L( x, y, ) 6x2 xy 19 y 2 ( x y 56) .解方程组

Lx 12 x y 0 ; Ly x 38 y 0 ; L x y 56 0 .

得唯一驻点

(42,14)

, 由问题本身性质知最小成本为

L(42,14) 13720 (元).