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第四节

一阶线性微分方程

一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结 思考题

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一、线性方程一阶线性微分方程的标准形式 一阶线性微分方程的标准形式: 的标准形式

dy + P( x) y = Q( x) dx上方程称为齐次的 齐次的. 当Q ( x ) ≡ 0, 上方程称为齐次的 上方程称为非齐次的 非齐次的. 当Q( x ) ≡ 0, 上方程称为非齐次的

dy dx 2 线性的; 例如 = y+ x , = x sin t + t 2 , 线性的 dx dt 非线性的. yy ′ 2 xy = 3, y ′ cos y = 1, 非线性的上页 下页 返回

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一阶线性微分方程的解法 一阶线性微分方程的解法

dy + P ( x ) y = 0. 1. 线性齐次方程 dx(使用分离变量法 使用分离变量法) 使用分离变量法

dy = P ( x )dx , y

dy ∫ y = ∫ P ( x )dx ,

ln y = ∫ P ( x )dx + ln C ,齐次方程的通解为 y = Ce ∫ P( x)dx

.上页 下页 返回

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dy + P ( x ) y = Q ( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy Q( x ) P ( x ) dx , 讨论 ∵ = y y Q( x ) dx ∫ P ( x )dx , 两边积分 ln y = ∫ y Q( x ) dx为v ( x ), ∴ ln y = v ( x ) ∫ P ( x )dx , 设∫ y即 y = e v ( x ) e ∫ P ( x )dx . 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: 与齐次方程通解相比 C u( x )上页 下页 返回

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常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 实质: 未知函数的变量代换

新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),作变换

y = u( x)e P( x)dx

∫ P( x)dx P( x)dx

y′ = u′( x)e ∫

+ u( x)[ P( x)]e ∫上页

,

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将 y和 y ′代入原方程得 u′( x )e ∫

P ( x ) dx

= Q( x ),

∫ P( x)dxdx + C, 积分得 u( x) = ∫ Q( x)e一阶线性非齐次微分方程的通解为: 一阶线性非齐次微分方程的通解为

∫ P( x)dxdx + C]e ∫ P( x)dx y = [∫ Q( x)e

= Ce ∫

P( x)dx

+e ∫

P( x)dx

∫ P( x)dxdx ∫ Q( x)e上页 下页 返回

对应齐次 方程通解

非齐次方程特解

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1 sin x 例1 求方程 y′ + y = 的通解. x x sin x 1 Q( x ) = , 解 P( x) = , x x

y=e +C ln x ln x sin x =e e dx + C ∫ x 1 1 = (∫ sin xdx + C ) = ( cos x + C ). x x ∫

1 dx x

sin x ∫ x

1 ∫ dx e x dx

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如图所示， 例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0)截下的线段PQ之 截下的线段 之 长数值上等于阴影部分的面积, . 长数值上等于阴影部分的面积 求曲线 f (x) 解

∫0

x

f ( x )dx = ( x y ) ,3 2

y

∫0

x

ydx = x 3 y ,2

Q

y = x3

两边求导得 y′ + y = 3 x , 解此微分方程o

P

y = f ( x)

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y′ + y = 3x dx

2

∫ C + 3 x 2 e ∫ dx dx y=e ∫ = Ce

x + 3 x 2 6 x + 6,

由 y | x =0 = 0,

得 C = 6,

所求曲线为 y = 3( 2e x + x 2 2 x + 2).

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二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程的标准形式 伯努利

dy n + P( x) y = Q( x) y dx

(n ≠ 0,1)

线性微分方程. 当n = 0,1 ,方程为线性微分方程 时 方程为线性微分方程 非线性微分方程. 当n ≠ 0,1 ,方程为非线性微分方程 时 方程为非线性微分方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程上页 下页 返回

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dy y + P ( x ) y 1 n = Q( x ), 两端除以 y ,得 dx dz n dy 1 n , 令z = y , 则 = (1 n) y dx dx dz + (1 n) P ( x ) z = (1 n)Q( x ), 代入上式 dxn n

z = y1 n 代入即得 求出通解后， 求出通解后，将∴ y 1 n = z =e ∫ ( 1 n ) P ( x ) dx

∫ (1 n ) P ( x ) dx dx + C ). ( ∫ Q( x )(1 n)e上页 下页 返回

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dy 4 求方程 y = x2 y 的通解 . 例3 dx x解 两端除以

y,得

1 dy 4 y = x2 , y dx x

令z=

y,2

dz 4 2 z = x2 , dx x2

x 即 y = x4 x + C . 解得 z = x + C , 2 2

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用适当的变量代换解下列微分方程: 例4 用适当的变量代换解下列微分方程:

1. 2 yy′ + 2xy = xe2

x2

;

1 x 2 1 y ′ + xy = xe y , 解 2 dz dy 令 z = y1 ( 1) = y2 , 则 dx = 2 y dx , ∫ 2 xdx dz x 2 ∫ 2 xdx x2 [ ∫ xe e dx + C ] ∴ + 2 xz = xe , z = e dx x2 2 x 所求通解为 y = e ( + C ). 22

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dy 1 y 2. = ; 2 dx xsin ( xy) x dz dy 解 令 z = xy, 则 = y+ x , dx dx dz 1 y 1 , = y + x( )= 2 2 dx x sin ( xy ) x sin z分离变量法得 2 z sin 2 z = 4 x + C ,将 z = xy 代回,

所求通解为 2 xy sin( 2 xy ) = 4 x + C .上页 下页 返回

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dy 1 3. ; = dx x + ydy du 解 令 x + y = u, 则 = 1, dx dx du 1 1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ln( u + 1) = x + C ,将 u = x + y 代回, 所求通解为

y ln( x + y + 1) = C ,

或 x = C 1e y y 1

dx 另解 方程变形为 = x + y. dy上页 下页 返回

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三、小结y 1.齐次方程 y ′ = f ( ) 齐次方程 x2.线性非齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 伯努利方程

令 y = xu; P( x)dx

令 y = u( x)e ∫

;

令 y1 n = z;

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