寿险精算学(二)中国人民大学统计学院 王燕 TEL:62511137(O) MP:13683595345 E-MAIL:wy08@

说明

课程安排

新知识、精算技巧、精算实务并重 注重基础知识的全面性、扎实性。 强化解题技能 鼓励理论联系实际

考核办法

第一讲

复习

生命表函数与趸缴纯保费

生命表函数复习

一些主要的生命表函数的概率含义 生命表函数彼此之间的函数关系 分数年龄假设

常用的生命表函数

lxs ( x)n

dxn

px

qx

nm

qx

m( x)

exexa ( x)o

ex:nmx

生命表函数相互之间的关系

例1(连续)

已知

mx =

2 100 - x

,求：

(1) s( x) (3) fT (t ), 0 #T (4) e40o

(2) 60

5

p40

(5) m40

例1答案骣 x 鼢 (1) s( x) = 珑 1鼢 珑 珑 桫 100 鼢 (3) fT (t ) = t p40 ?m(40 (4) e 40 =o 60 60 t 40 2

s (45) 骣 55 (2) 5 p40 = = s (40) 桫 60 2(60 - t ) t) = 602 t ? fT (t )dt0

2

蝌p0 60

dt =

20

òf(5) m40 =0 60

T

(t )dt = 0.0168

ò0

t

p40 dt

生命表函数相互之间的关系

例2(离散)

已知

xlx

dx 求

90 100 13

91 87 35

92 52 52

93 0 -

(1) f K (k )

(2) e90

例2答案d90+ k (1) f K (k ) = l90 \ , k = 0,1, 2 13 35 52 f K (1) = , f K (2) = , f K (3) = 100 100 100

l91 + l92 87 + 52 (2) e90 = = = 1.39 l90 100

分数年龄假定

在下列假定条件下，计算 e x:1 and a( x)(1) lx+ t = lx - td x (2) m( x + t ) = m

o

例3答案(1) e x:1o

1 1 = 1- q x , a ( x ) = 2 2

(2) e x:1

o

1- e = m

- mt

1- (1+ m)e , a ( x) = - mt m(1- e )

- m

本章复习题C3 study manual(1- Unit1) Unit review questions

趸缴纯保费复习

终身寿险趸缴纯保费

连续 离散 定期死亡受益 定期两全受益

定期寿险趸缴纯保费

延期寿险趸缴纯保费

终身寿险趸缴纯保费厘定

例4:分别在下面两种假定下，求终身寿 险趸缴保费 Ax

De Moivre假定 lx = w - x ,0 #x 常数死亡力假定 mx = m

w

例4答案(一)

De Moivre假定下

lx = w - x ? fT (t )w- x

1 w- xw- x t

Ax =

v 蝌0

fT (t )dt =0

e

- dt

1 1 dt = aw- x w- x w- x

例4答案(二)

恒定死亡力假定下me- mtw- x t

mx = m ? fT (t )w- x

Ax =

v 蝌0

fT (t )dt =0

e me

- dt

- mt

m dt = m+ d

例5

在De Moivre假定下，

w = 100, d = 0.05, x = 30

计算

A30 , A30 ,Var (Z ), Pr(Z < A30 )

2

例5答案1 A30 = a70 d = 0.277086 70 2 1 A30 = a70 2d = 0.142727 70 Var ( Z ) = A30 - ( A30 ) 2 = 0.0659570 2

pr ( Z < A30 ) = pr (t ? t0 ) ln( A30 ) t0 = d

òt0

70 - t0 1 dt = 170 70

终身寿险趸缴纯保费厘定

例6:已知

xlxdx

90 100 28

91 72 33

92 39 39

93 0 -

假定90岁死亡给付10,91岁死亡给付5, 92岁死亡给付2,求： E (Z ),Var (Z ) ( i = 0.05)

例6答案E ( Z ) = A90 =

å

2

bk + 1v

k+ 1

k= 0

d

90+ k l90

10 28 5 33 2 39 = + + = 4.464907 2 3 1.06 100 1.06 100 1.06 100 2 2 2( k + 1) d 90+ k E ( Z ) = å bk + 1v l90 k= 0 骣 骣5 10 28 鼢 =珑 + 鼢 珑 鼢 珑 桫 1.06 100 桫 1.0622 2

33 骣 2 + 100 桫 1.063

2

39 =32.55 100

Var ( Z ) = E ( Z 2 ) - E ( Z ) 2 = 9.85

例7

现有一两年期定期寿险，死亡年末给付1。 根据下面的数据，计算 qx+ 1 已知 (1) q = 0.5x

(2) i = 0 (3) Var ( Z ) = 0.1771

ANS : 0.54