线性代数模拟试题及答案

模拟试题C

一．填空或选择填空（每小题4分）

1．设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11314221a A ，B

为三阶非零矩阵，且0=AB ,则=a 2．已知二次型323121232221244552x tx x x x x x x x f ++----=经正交变换化

为标准形23222110y y y f ---=，则=t

3．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列结论成立的是 （a ）BA AB =;

（b ）存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1； （c ）存在可逆矩阵Q P 和,使B PAQ = （d ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =

4．设向量321ααα，，线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （a ）;,,133221αααααα-++

（b ）;,,3213221ααααααα++++ （c ）;2,,3213221ααααααα++++ （d ）.,,133221αααααα---

5．设m 个方程的n 次齐次线性方程组为b Ax =，且r rankA =则下列结论中正确的是

（a ）b Ax n r ==时，有唯一解； （b ）b Ax n m ==时，有唯一解； （c ）时，n r <b Ax =有无穷多解； （d ）b Ax m r ==时，有解。

二．（10分）已知n 阶方阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=111

1111111

11ΛΛM M M M ΛΛn n

n n A 求det 1-A 三．（10分）已知⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=103020101A 满足222A B E BA -=-,求矩阵B 四．（10分）设四维向量空间V 的两个基（Ⅰ）：4321,,,αααα和（Ⅱ）：4

321,,,ββββ满足

⎩⎨⎧=+=+43232122βααβαα ⎩⎨⎧=+=+4

3232122αββαββ 1．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵C ：

2．求向量4321432ααααα+++=在基（Ⅱ）下的坐标。

五．（13分）设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+0

04221x x x x ，又知一齐次线性方程

组（Ⅱ）的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+。

1．求线性方程组（Ⅰ）的基础解系及通解；

2．问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

六．（13分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量为T x )1,1,1(-=。 1．求b a ,之值及特征向量x 所对应的特征值；

2．A 能否与对角矩阵相似？说明理由。

七．（15分）已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x tx x x x x x f -+-++=的秩为2。

1．求参数t ；

2．用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换；

3．指出方程1),,(321=x x x f 表示何种二次曲面。

八．（9分）1、设n 是A 非零实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵。若*A A T =,试证：det A ≠0

2、设有矩阵n m ⨯A 和m n A ⨯，且m<n ，E AB =.证明A 的行向量组线性无关。

答案

一、1．－1；2．4；3．（c ）；4．（b ）；5．（d ）。 二．12)

1()

1(11--+n n n n ）（－ 三．⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----406040204

四．1．由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0012200112480124－－－＝C 2．α在基（Ⅱ）下的坐标为（3，10，9，0）。

五．见例4－14。

六．1．由1,0,3,-==-==λλb a x Ax 得；

2．－1是A 的三重特征值，而对应－1只有一个线性无关的特征向量，从而A 不能相似对于角矩阵、

七．1．t ＝3；

2．正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213106

2312161312161y y y x x x 化二次型为232294y y f +=； 3．1=f 为椭圆柱面 八．1．由*A A T =知，ij ij A a =，其中ij ij a A A 中元素是det 的代数余子式；又A 是非零实矩阵，不防设A 中000≠j i a ，将A 按第0i 行展开，得

0det 22211100000000000≠++++=++++=n i j i i n i n i j i j i i i a a a A a A a A a A o ΛΛΛΛ

2．由m rankA AB rank rankE m m ≤≤==)(知，,m rankA =故A 的行向量组线性无关。