第三章 导数及其应用

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3.1 导数的概念与运算

典例精析

题型一 导数的概念

【例1】 已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x， 求lim

f(1－2Δx)－f(1)

的值.

ΔxΔx 0

【解析】由导数的定义知：

f(1－2Δx)－f(1)f(1－2Δx)－f(1)

2lim＝－2f′(1)＝－20.

Δx－2ΔxΔx 0Δx 0

lim

Δy

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率.

Δx【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)t2

＝t＝10 min的降雨强度为( ) 100

1

A.mm/min 5

1

mm/min 2

【解析】选A. 题型二 求导函数

【例2】 求下列函数的导数. (1)y＝ln(x1＋x)；

1

B. mm/min 4D.1 mm/min

(2)y＝(x2－2x＋3)e2x； (3)y＝

3x. 1－x

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y′＝

1(x＋1＋x)′ x1＋x

1x1(1＋＝x＋1＋x1＋x1＋x＝

(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x

＝2(x2－x＋2)e2x. 1－x＋x1x 2

3)(3)y′＝( 31－x(1－x)1x 21

)3＝31－x(1－x)1 2

＝3 (1－x) 3

43

【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝ ；lim

f(1＋Δx)－f(1)

(用数字作答).

ΔxΔx 0

【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义lim

f(1＋Δx)－f(1)

f′(1).

ΔxΔx 0

当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2. 题型三 利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x， 直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

y3

【解析】由l过原点，知k＝ (x0≠0)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0＝x0－3x20＋2x0， x0所以

y2

＝x－3x0＋2. x00

2

而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x0－6x0＋2.

y又 k，

x0

22

所以3x0－6x0＋2＝x0－3x0＋2，其中x0≠0，

3解得x0

2

3y01

所以y0＝－，所以k＝，

8x04

133

所以直线l的方程为y＝－x，切点坐标为).

428

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P(x0，y0)，则由 y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x20－3.

所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(3x20－3)(x－x0). 又切线经过点(－2,2)，得

2

2－y0＝(3x0－3)(－2－x0)，①

而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4， ② 由①②解得x0＝1或x0＝－2. 则切线方程为y＝2 或 9x－y＋20＝0.

总结提高

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求lim

f(x0＋Δx)－f(x0)Δy

lim的值；

ΔxΔx 0ΔxΔx 0

(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值. 2.求y＝f(x)的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.

3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.

3.2 导数的应用(一)

典例精析

题型一 求函数f(x)的单调区间

【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间. 【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞). a＋22x(x－2a

f′(x)＝2x－a－＝

x－1x－1

a＋2

2x(x－2a＋2

①若a≤0≤1，f′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，

2x－1＋∞).

a＋2

②若a＞0＞1，

2

a＋22x(x－)

2a＋2

故当x∈(1，]时，f′(x)＝≤0；

2x－1a＋2

2x(x－2a＋2

当x∈[∞)时，f′(x)0，

2x－1

a＋2a＋2

所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，，f(x)的增区间为[，＋∞).

22

a＋2

【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)与0及1的大小，分类讨论是解本

2题的关键.

【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围. 1

【解析】因为f′(x)＝2x＋a，f(x)在(0,1)上是增函数，

x1

所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立，

x1

即a≤2x＋恒成立.

x

12

又2x＋22(当且仅当x＝).

x2所以a≤22，

故a的取值范围为(－∞，22].

【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时 f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时 f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二 求函数的极值

【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值；

(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 因为x＝±1是函数f(x)的极值点，

所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.

2b

0, ① 3a

由根与系数的关系，得

c 1, ② 3a

又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③ 13

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－2213

(2)由(1)得 …… 此处隐藏：7388字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……