【步步高】高中数学 3.4.1函数与方程(二)配套训练 苏教版必修1

【步步高】高中数学 3.4.1函数与方程(二)配套训练 苏教版必修1

3.4.1 函数与方程(二)

一、基础过关

1．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b 2，若

f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．

2．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是________．(填图象编号)

3．对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2 011)<0，f (2 012)<0，f (2 013)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号)

①函数f (x )在(2 011,2 012)内不存在零点；

②函数f (x )在(2 012,2 013)内不存在零点；

③函数f (x )在(2 012,2 013)内存在零点，并且仅有一个；

④函数f (x )在(2 011,2 012)内可能存在零点．

4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x

＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间________．

5．方程|x 2－2x |＝a 2

＋1(a >0)的解的个数是________．

6．用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

7．用二分法求方程x 3－x －1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1)

8．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，求实数a 的取值范围．

二、能力提升

9．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：

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10．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点，可以取的初始区间为________．

11．方程2－x＋x2－3＝0的解的个数是________．

12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．

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答案

1.⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

a ，

a ＋

b 2

2．① 3．④ 4．(1.25,1.5) 5．2 6．[2,2.5]

7．解 令f (x )＝x 3

－x －1，

f (1.0)＝－1<0， f (1.5)＝0.875>0.

用二分法逐项计算，列表如下：

∵区间x 3

－x －1＝0的近似解为1.3.

8．解 由于函数f (x )的图象的对称轴是x ＝－1

2∉(0,1)，所以区间(0,1)上的零点是变号零

点，因此，有f (0)f (1)<0，即a (2＋a )<0，所以－2<a <0. 9．(1.8,2.2) 10．[－2,1] 11．2

12．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，

则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称； 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；

第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次． 13．证明 ∵f (1)>0，

∴3a ＋2b ＋c >0，

即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，

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则－b －c >c ，即a >c .

∵f (0)>0，∴c >0，则a >0.

在[0,1]内选取二等分点12

， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34

a ＋

b ＋

c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，

∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上至少各有一个零点， 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．