1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg

维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1所示。 表1

要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

解：设总费用为Z。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。xi表示满足动物生长的营养需要时，第i种饲料所需的数量。则有：

minZ 0.2x1 0.7x2 0.4x3 0.3x4 0.8x5 3x1 2x2 x3 6x4 8x5 700

x1 0.5x2 0.2x3 2x4 0.5x5 30s.t.

0.5x1 x2 0.2x3 2x4 0.8x5 100 x 0,i 1,2,3,4,5 i

2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班

开始时间向病房报道，试决定：

（

1） 若护士上班后连续工作8h，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h外（取消第6班），其他班次护士由医院

排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。

表2

解：（1）设x第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6

minZ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1

x1 x2 s.t. x3

x 4 x5 xi

x6 60 x2 70 x3 60 x4 50 x5 20 x6 30

0,i 1,2,3,4,5,6且为整数

解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设xi第i班开始上班的人数，i=1,2,3,4。

minZ x1 x2 x3 x4 30

y11x1 y21x2 y31x3 y41x4 60，第一班约束

y11 1,y11 y12 y13 y14 2

yx yx yx yx 70，第二班约束121222323424

y22 1，y21 y22 y23 y24 2

s.t. y13x1 y23x2 y33x3 y43x4 60，第三班约束 y 1，y y y y 2

31323334

33

y14x1 y24x2 y34x3 y44x4 50，第四班约束

y44 1，y41 y42 y43 y44 2

x 0，y是0—1变量，i,j 1,2,3,4

ij i

3. 要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n种，分别为aj

（j=1,2，…n）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。

解：设xi表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n。

n

maxZ

a

i 1

i

xi

n

aixi 1 i 1

x是整数 i

4. 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的与最大允许载重量如表3.1所示。现有三

种货物待运，已知有相关数据列于表3.2。 表3.1

表3.2

又为了航海安全，前、中、后舱实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应该载A,B,C各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。

解：设xij表示第i件商品在舱j的装载量，i,j=1,2,3

maxZ 1000(x11 x12 x13) 700(x21 x22 x23) 600(x31 x32 x33)

1) 商品的数量约束：

x11 x12 x13 600

x21 x22 x23 1000 x x x 800

3233 31

2) 商品的容积约束：

10x11 5x21 7x31 4000

10x12 5x22 7x32 5400 10x 5x 7x 1500

132333

3) 最大载重量约束：

8x11 6x21 5x31 2000

8x12 6x22 5x32 3000 8x 6x 5x 1500

2333 13

4) 重量比例偏差的约束：

8x11 8x 11 8x

13 8x

13 8x13 8x13

6x21 5x31 6x21 5x31 6x23 5x33 6x23 5x33 6x23 5x33 6x23 5x33

232312123434

(1 0.15)(8x12 6x22 5x32)(1 0.15)(8x12 6x22 5x32)(1 0.15)(8x12 6x22 5x32)

(1 0.15)(8x12 6x22 5x32)(1 0.1)(8x11 6x21 5x31)(1 0.1)(8x11 6x21 5x31)

5. 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高及擅长位置见表

5. 表5

出场阵容应满足以下条件： （1） 只能有一名中锋上场； （2） 至少一名后卫；

（3） 如1号和4号均上场，则6号不出场； （4） 2号和8号至少有一个不出场。

问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高，试建立数学模型。 解：设xi 1表示第i个队员出场，i=1,2…8.

maxZ

15

8

x

i 1

i

8

xi 5

i 1

x1 x2 1，x6 x7 x8 1 x x 1，x x x 2

8146

2 xi是0—1变量

6. 时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的需求量如表4所示，每件时

装用工2h和10元原材料费，售价40元。该公司1月初有4名工人，每人每月可工作200h，月薪2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮组该公司决策，如何使用6个月的总利润最大。

表4 单位：件

解：设xi1为第i月现有工人人数，xi2为新雇工人人数，xi3为辞退工人人数，yi为每月的需求。i=1,2，…，6。则有：

6

maxZ

(40 10)

i 1

2002

66j

(xi1 xi2)

(2000

i 1

xi1 3500xi2 1000xi3) 5 (n

i

yi)f(ni yi)

j 1k 1

1，x 0

其中f(x)

0，x 0

x11 4

2， ，5 xi1 xi3 xi1 xi2，i 1，

s.t.

ni 200 (xi1 xi2) 2 x 0，i 1，2，, ，6；k 1，2 ik

7. 童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表6所示，表中负号表示该月现金流出大

于流入，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月底起每月还息1%，于12月归还本金和最后一次利息；二是得到短期贷款，每月初获得，于月底归还，月息1.5%。当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存入，月末取出，月息0.4%。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大。 表6

wi为第i个月的短期贷款额，zi为第i个月短期存款额，解：设长期存款为y，i=1,2,…，

n。则有：

maxZ 1.004z12 1.01y 1.015w12

y w1 z1 12

1.004z1 0.01y 1.015w1 z2 w2 10

1.004z2 0.01y 1.015w2 z3 w3 8

1.004z3 0.01y 1.015w3 z4 w4 10 1.004z 0.01y 1.015w z w 4

4455

1.004z5 0.01y 1.015w5 z6 w6 5s.t.

1.004z6 0.01y 1.015w6 z7 w7 7 1.004z 0.01y 1.015w z w 2

7788

1.004z8 0.01y 1.015w8 z9 w9 15 1.004z 0.01y 1.015w z w 12

991010

1.004z10 0.01y 1.015w10 z11 w11 7

1.004z11 0.01y 1.015w11 z12 w12 45

8. 某地准备投资D元建民用住宅，可以建住宅的地点有n处：A1，A2， An。An处每幢

住宅的造价为d，最多可造a幢。问应当在哪几处建住宅，分别建几幢，才能使建造的住宅总数最多，试建立问题的数学模型。 解：设xi表示在A处所建住宅的数量，i=1,2，…n。

n

maxZ

x

i 1

i

n

dx D，x a，i 1，2， n iiii

i 1

x是整数 i

9. 有一批每根长度为l的圆钢，需截取n种不同长度的零件毛坯。长度为aj的毛坯必

须有mj段（j=1，2，…n），为了方便，每根圆钢只截取一种长度的毛坯。应当怎样截取，才能使动用的圆钢数目最少，要求建立数学模型。

解：设xi表示各种毛坯使用圆钢的数量，yi表示各种毛坯在一根圆钢上可得到的数量。i=1,2，…n。

n

minZ

x

i 1

i

2， ，n ajxi l，i 1，

yx m，i 1，2， ，n iij

xi，yi 0，且都是整数 i 1，2， ，n

10. 一个旅行者要在其背包里装一些最有用的旅行用品。背包容积为a，携带物品总重

量最多为b。现有物品m件，第i件物品体积为ai，重量为bi（i=1,2，m）。为了比较物品的有用程度，假设第i件物品的价值为ci（i=1,2，m）。若每件物品只能整件携带，每件物品都能放入包中，并且不考虑物品放入包后相互的间隙。问旅行者应当携带几件物品，才能使携带物品的总价值最大，要求建立数学模型。 解：设xi 1表示携带第i件物品，i=1,2，…，m。

m

maxZ

c

i 1

i

xi

m

aixi a i 1

m

bixi b i 1

x是0—1变量 m i 1,2，

11. 宏银公司承诺为谋建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：

2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006——110万元。以上贷款资金均需2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：

（1） 于2003年初购买A种债卷，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，

但限购60万元。

（2） 于2003年初购买B种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，

且限购90万元。

（3） 于2004年初购买C种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，

但限购50万元。

（4） 于每年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年底取出。

求宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年底需要筹集到的资金数额为最少。

解：设x为2002年底该公司需要筹集到的资金额；y1，y2，y3分别为2003、2004、2005年初存放到银行的资金数；wA，wB，wC分别为购买A、B、C债卷的数额。则有：

minZ x

x y1 wA wB 100

1.04y1 y2 wC 150

1.04y2 1.25wB y3 120

1.04y3 1.40wA 1.30wC 110 s.t.

x 0，y1、y2、y3 0， 0 w 60，

A

0 wB 90， 0 w 50

C