[原创]2011年《随堂优化训练》数学_人教A版_必修五_第三章_3.2_3.2.2_一元二次不等

3.2.2 一元二次不等式的实际应用

> 1.设二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R,则有 a___0 < 且Δ=b2-4ac___0. x-a 2.若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞,-1)∪ (4, x+1+∞),则实数

4 a=____.

3.设不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<2},则方程 {1,2} < ax2+bx+c=0 的解集为______,且 a___0.

(-∞,0)∪(2,+∞) 4.函数 y= log 1 (x2-2x)的定义域为_________________.2

5.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( B )A.{x|x>1} B.{x|x≥1 或 x=-2} C.{x|x≥1} D.{x|x≥-2 且 x≠1}

重难点

一元二次不等式的应用

(1)利用一元二次不等式的解集是实数集 R 或空集 的几何 意义，把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及

函数图象之间的内在联系.(2)在解决实际问题时，先抽象出数学模型，并寻找数学模 型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法 解题.

恒成立问题 例 1:当 a 为何值时，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的 解是全体实数？ 思维突破：二次项系数出现参数，应考虑a2-1=0 的情形， a2-1<0 然后按 Δ<0

求解.

解：(1)当a2-1=0,即a=±1 时，若a=1, 则原不等式为-1<0,恒成立；

若 a=-1, 1 则原不等式为 2x-1<0,即 x<2,不符合题意，舍去.

(2)当a2-1≠0,即 a≠±1 时， 原不等式的解集为R 的条件是 a2-1<0 2 2 Δ= a-1 +4 a -1 <0

,

3 解得-5<a<1. 3 综上所述，当-5<a≤1 时，原不等式的解为全体实数.

(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实

数(或恒成立)的条件是当 a=0 时，b=0,c>0;当 a≠0 时， a>0 Δ<0

.

(2)类似地，还有f(x)≤a 恒成立 f(x)max≤a;f(x)≥a 恒成立 f(x)min≥a.

1-1.已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0,对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围.

解：①令m2+4m-5=0 得m1=1,m2=-5. 当m=1 时，原不等式化为3>0 恒成立，1 当 m=-5 时，x>-8不合题意.

②若m2+4m-5≠0,则原命题等价于 m2+4m-5>0 2 2 Δ=16 m-1 -12 m +4m-5 <0

,

解得 1<m<19.

综上，所求实数 m 的取值范围为[1,19).

一元二次不等式的实际应用 例 2:某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆.本年度

为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的

比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的

比例 x 的 关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加 的比例 x 应在什么范围内？ 思维突破：建立函数与不等式的模型后解不等式. 解：(1)依题意，得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1 000×(1+0.6x)

=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).∴所求关系式为 y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2). (2)依题意，得 1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000.

1 化简，得 3x -x<0,解得 0<x<3.2

1 ∴投入成本增加的比例 x 的范围是 0<x<3.

解不等式应用题，一般可按四步进行：① 审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表 示不等关系(或表示成函数关系);③解不等式(或求函数最值);

④回到实际问题.

2-1.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，对烟酒销售征 收附加税.已知 A 种酒每瓶销售价为 70 元，不收附加税时，每

年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元要征收附加税 r 元(即税率为 r %),则每年的销售量将减少 10r 万瓶.如果要使每年在此 项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，那么 r 应如何确 定？ r 解： 70×100 (100-10r)≥112,

即r2-10r+16≤0 2≤r≤8.

故税率定在 2%~8%之间，年收附加税不少于112 万元.

求值域 例 3:若函数 f(x)= ax+1 的值域为[-1,5],求实数 a、c. 2+c x

解：由y=f(x)=

ax+1 ,得 2+c x

x2y-ax+cy-1=0. 当y=0 时，ax=-1,∴a≠0. 当y≠0 时，∵x∈R,∴Δ=a2-4y(cy-1)≥0.

∴4cy2-4y-a2≤0.∵-1≤y≤5,

∴-1,5 是方程4cy2-4y-a2=0 的两根.

1=4 c ∴ a2 - =-5 4c

a=± 5 ,∴ 1 . c=4 a2x2+b2x+c2 2 2 求 f(x)= 2 (a +a2≠0)的值域 a1x +b1x+c1 1

时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为 方程，利用Δ≥0 转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意 二次项系数为字母时要讨论.

3-1.对于定义域为实数集 R 的函数 f(x)=回答下列问题：

4x-a (a 为常数), x2+1

1 (1)若 f(1)=2,则 a=________;(2)当 a 取由(1)所确定的值时，求 y=f(x)的值域.

1 4-a 1 解：(1)由 f(1)=2得 = ,∴a=3. 1+1 2

4x-3 (2)当 a=3 时，所给函数变为 y= 2 定义域为 R, x +1由解析式得：yx2-4x+(y+3)=0,

3 当 y=0 时，x=4∈R,∴y=0 属于函数的值域.当 y≠0 时，若方程有实数解，则

Δ=16-4y2-12y≥0,解得：-4≤y≤1(y≠0). 故函数 y= 4x-3 的值域为{y|-4≤x≤1}. 2+1 x

例 4:用一条长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的 长为 x cm,要使矩形的面积大于 12 cm2,求 x 的取值范围. 错因剖析：解题过程易忽略 x 的实际意义，导致出错. 正解：由题知，矩形的长为x

cm,则它的宽为 16-2x =8-x(cm), 2

故有x>8-x>0,即 4<x<8 ①. 要使矩形的面积大于12 cm2,则有 x(8-x)>12,解得 2<x<6 ②. 综合①②可知，4<x<6. 故x 的取值范围为 4<x<6.