2013—2014上高数期末考试(A卷)

13-14上期高数终考试题一、填空题(每小题2分,共14分) 1 1.曲线y x sin 的水平渐近线为 y 1 .x 2. f ( x0 ) 0是x0为f ( x )的驻点的 充要条件(填充分，必要或充要) .

3.d[ f ( x )dx] f ( x )dx .

4.设f ( x )是[ , ]上的连续的偶函数,则 [1 xf ( x )]dx 2 .-

5.函数y 2 x 3 -3 x 2在区间[ 1,1]上的最大值是 0 .x e 6.已知函数f ( x )的一个原函数是e cos x, 则f ( x ) cos x .

x

7.一阶线性微分方程 y P( x ) y Q( x )的通解是 P ( x )dx P ( x )dx y e ( Q( x )e dx C )

.

二、单项选择题 (每小题3分,共24分)

x2 1 1 1.设f ( x ) ,则x 0是f ( x )的( A ) x ( A) 可去间断点； ( B) 无穷间断点；(C ) 连续点； ( D) 跳跃间断点.

2. f ( x) x 2 在点 x 2处的导数是( D )( A) 1; ( B) 0;

(C ) 1;

( D) 不存在.

3.当x 0时，无穷小量 sin x(1 cos x)是x 2的(

A )

( A)高阶无穷小； ( B)低阶无穷小； (C )同阶但不等价无穷小； ( D)等价无穷小.2

4.下列等式中正确的是( C )1 ( A) ln x dx d( ); x 1 1 ( B ) dx d( 2 ); x x 1 ( D) 2 xdx d( ). x

(C ) 2 xe dx d(e );

x2

x2

1 5.曲线y 在(0, )内是( D ) x ( A)上升且是凹的； ( B)下降且是凸的；(C )上升且是凸的； ( D)下降且是凹的.

6.下列式子正确的是( C )( A) df ( x ) f ( x ); d (C ) f ( x )dx f ( x ); dx dx 7.反常积分 ( B ) p 1 x ( A) p 1时收敛; ( B ) d f ( x )dx f ( x ); ( D ) f ( x )dx f ( x ).

( B) p 1时收敛; ( D)敛散性不确定.

(C ) p 1时发散;x

8.设函数y (t 1)dt,则y有( C ) 01 1 1 1 ( A)极小值 ; ( B )极大值 ; (C ) 极小值 ; ( D)极大值 . 2 2 2 24

三、解答题(每小题7分,共35分)

1.已知点(1, 3)为曲线y ax 3 bx 2的拐点，求a, b的值.

解：y 3ax 2 2bx, y 6ax 2b. (1, 3)为曲线的拐点 f (1) a b 3 f (1) 6a 2b 03 9 解得：a , b 2 2

三、解答题(每小题7分,共35分) 2.求函数 在区间 的最大值 . 解: 1) 求导数 y 1 2sin x ,

2) 求驻点

令 f ( x ) 0, 得驻点 x

6

3) 计算函数值

f ( ) 3, f (0) 2, f ( ) . 6 6 2 2 4) 比较函数值的大小得所求最大值是

f ( ) 3. 6 66

最大值与最小值问题则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点

(2) 最大值

M max 最小值

f (a ), f (b)

m min

f (a ), f (b) 7

三、解答题(每小题7分,共35分)d2 y dy 3.解微分方程 2 2 y 0满足初始条

件y dx dx y x 0 2的特解.x 0

4,

解: 特征方程 r 2 2r 1 0 有重根 r1,2 1 因此原方程的通解为 y e (C1 C 2 x ) 利用初始条件得 C1 4, C 2 2 x

于是所求初值问题的解为 y (4 2 x ) e

x

三、解答题(每小题7分,共35分)

4.求极限 limx 0

x

0

cos t 2 dt x

.

解:

2 cos x 原式 lim cos0 1. x 0 1

洛

三、解答题(每小题7分,共35分)4 5.计算 2 x (sin x cos x )dx. 2 4 2 x sin x d x x cos xdx 解：原式 2

2 x sin xdx 0 2 02 xd( cos x ) 2( x cos x 02 2 cos xdx )0

2 2 0

2

2 2(0 sin x ) 0

2.10

三、解答题(每小题7分,共35分)

x 1, 0 x 1 2 6.设函数f ( x ) 1 2 , 计算 f ( x )dx . 0 x ,1 x 2 2解： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx0 0 1 2 1 2

( x 1)dx 0

1

2

1

1 2 x dx 22 1

1 2 1 3 1 ( x x) 0 ( x ) 2 6 8 3

四、求下列不定积分(每小题7分,共14分)

sin x cos x 1. dx . 4 1 sin x

1 1 u2 du arctan u C

sin x cos x sin x 解： 1 sin4 x dx 1 sin4 xd(sinx ).

1 1 2 d( sin x ). 2 2 2 1 (sin x )

1 arctan(sin 2 x ) C . 212

四、求下列不定积分(每小题7分,共14分)

2.

ln x x

dx . ln x x dx 2 ln xd( x ) 2( x ln x xd ln x )

解：

2( x ln x

2( x ln x

1 x dx ) x 1 dx ) x

2( x ln x 2 x ) C13

五、应用题(本题6分)2

1 求抛物 线 y 2 x和直线 x 所围成的平面图形绕直线 2 y y 1旋转而成的立体的体积.2 2 d V [ ( y 1) ( y 1) ]dx 解: 下 上

1 o

[( 2 x 1) ( 2 x 1) ]dx2 2

4 2 xdxV 4 2 xdx 4 2 1 2 0 1 2 0

1 2

x

x dx

1

4 8 2 . [ x ] 3 33 1 2 2 014

五、应用题(本题6分)1 求抛物 线 y 2 x和直线 x 所围成的平面图形绕直线 2 y y 1旋转而成的立体的体积. 1 22

1 y 解: dV [2 ( y 1)( )]dy 2 2 2 o 1 1 y V [2 ( y 1)( )]dy 1 2 2 1 2 2 1 1 1 y 1 y [2 y( )]dy [2 ( )]dy 1 1 2 2 2 2 1 1 y2 4 0 2 [2 ( )]dy . 0 2 2 3

1 2

x