【创新大课堂】(新课标)2016高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直

第七章 立体几何与空间向量第5节 直线、平面垂直的判 定与性质

[要点梳理]

1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义： 任意 一条直线都垂直，就说直线l与平 直线l与平面α内的_____ 面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言判 定 定 理 如果一条直线与 平面内的 两条相交直线都 _____________ 垂直，那么这条 直线与这个平面 垂直. 如果两条直线垂 直于同一个平 面，那么这两条 直线平行.

图形语言

符号语言a α _____ _____ b α ________ a∩b=O l⊥α l⊥a _____ l⊥b _____

性 质 定 理

a ⊥α _____ a∥b b⊥α _____

2.直线与平面所成的角

(1)定义射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角. 如图，

∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. _______ π 0, . 2 的范围：______.

(2)线面角 θ

3.平面与平面垂直

(1) 二面角的有关概念：①二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做 二面角的面. 如图，记作：二面角 α - l - β 或二面角 α - AB - β 或二面角 P -

AB-Q.

②二面角的平面角.在二面角α-l-β的棱l上任取一点

O,以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

[0,π] ③二面角的范围是___________ . (2)平面与平面的垂直 定义.一般地，两个平面相交， 直二面角 ， 如果它们所成的二面角是___________ 就说这两个平面互相垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言

垂线 ，则这两个 定 _____理 平面互相垂直.

l ⊥α ______ α⊥β l β _____

性 质 定 理

如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l β l⊥α α∩β=a l⊥a

交线 的直线垂直 _____于另一个平面.

质疑探究：若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条 直线，则α⊥β吗？ 提示：不一定，若这无数条直线都平行，则得不到 α 内的

这条直线垂直于β,从而得不到α⊥β.

[基础自测]

1.设a,b,c是三条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α [解

析] ) B.α⊥β,a α,b β D.a⊥α,b⊥α

对于选项C,在平面α内作c∥b,因为a⊥α,所以

a⊥c ,故 a⊥b ; A , B 选项中，直线 a , b 可能是平行直线，也 可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. [答案] C

2.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得

到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中，AD与BC的位置关系是( )

图1 A.相交且垂直

图2 B.相交但不垂直

C.异面且垂直

D.异面但不垂直

[解析]

在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线

AD就是斜边上的高，则AD⊥BC,翻折后如图2,AD与BC变成 异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与

AD 垂 直 ， 即 AD⊥BD , AD⊥CD , 故 AD⊥ 平 面 BCD , 所 以AD⊥BC. [答案] C

3.(2015·通化模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面 是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF )

C.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD

[ 解析 ]

A 中，因为 CD∥AF , AF 平面 PAF , CD 平面

PAF ,所以 CD∥ 平面 PAF 成立； B 中，因为 ABCDEF 为正六边 形，所以 DF⊥AF. 又因为 PA⊥ 平面 ABCDEF ,所以 PA⊥DF , 又 因 为 PA∩AF = A , 所 以 DF⊥ 平 面 PAF 成 立 ； C 中 ， 因 为

CF∥AB,AB 平面PAB,CF 平面PAB,所以CF∥平面PAB;而D中CF与AD不垂直. [答案] D

4.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条 不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n ;② α⊥β ;③ n⊥β ;④ m⊥α ,以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题________. [答案] 可填①③④ ②与②③④ ①中的一个