第十五章 多元线性回归分析 (multiple linear regression)授课老师：曾小敏 (zxiaomin@http://www.77cn.com.cn) 公共卫生学院 卫生统计学教研室1

例9-1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量 (mmol/24h)如表9-1。估计尿肌酐含量(Y)对其年龄(X)的 回归方程。表9-1 8名正常儿童的年龄 X (岁)与尿肌酐含量Y(mmol/24h)编 号 年龄 X 尿肌酐含量 Y 1 13 3.54 2 11 3.01 3 9 3.09 4 6 2.48 5 8 2.56 6 10 3.36 7 12 3.18 8 7 2.65

复习——双变量直线回归分析

意义：分析1个自变量(X)对一个应变量(Y)的影响，例9-1正常儿童的尿肌酐含量(mmol/24h)(Y)与其年龄(X)的数量依存关系。

目的：作出以自变量(X)估计应变量(Y性回归方程。( Y a bX

)的一元线)

Y | X(9 1) X

资料：应变量(Y

)、自变量(X)为定量指标，且每

个X值相应的Y 服从正态分布。

用途：解释和预报。3

例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、

空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试建立血糖与其它几项指标关系的多元线 性回归方程。

表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果序号 i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

总胆固醇 (mmol/L) X15.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84

甘油三脂 (mmol/L) X21.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20

胰岛素 (μU/ml) X34.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45

糖化血 红蛋白(%) X48.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6

血糖 (mmol/L) Y11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4

多元线性回归分析：

意义：分析多个自变量对一个应变量的影响，如糖尿病人 的血糖变化可能受胰岛素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、 甘油三脂等多种生化指标的影响。

目的：作出以多个自变量(Xi)估计应变量(Y )的多元 线性回归方程。

资料：应变量(Y )为定量指标；自变量(Xi)全部或大部分为定量指标，若有少量定性或等级指标需作转换。 用途：解释和预报。

讲述内容第一节 多元线性回归 第二节 自变量选择方法

第三节 多元线性回归的应用及其注意事项

第一节

多元线性回归

例15-1: 表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果序号 i1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

总胆固醇 (mmol/L) X15.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84

甘油三脂 (mmol/L) X21.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20

胰岛素 (μU/ml) X34.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45

糖化血 红蛋白(%) X48.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6

血糖 (mmol/L) Y11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4

一、多元线性回归模型

变量：应变量 1 个，自变量m个，共 m+1 个。

样本含量：n 数据格式：见表15-1 回归模型一般形式：

Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e1. 应变量 Y 可以近似地表示为自变量 X 1 , X 2 , , X m 的线性函数。 2. 0 为常数项。 3. 1 , 2 , , m 为偏回归系数，表示在其它自变量保持不变时，X j 增加或减少一个单位时 Y 的平均变化量。

Y

4. e 是去除 m 个自变量对 Y 影响后的随机误差(残差) 。10

表15-1 多元回归分析数据格式例号 1 2 ┇ n X1 X11 X21 ┇ Xn1 X2 X12 X22 ┇ Xn2 Xm X1m X2m ┇ Xnm Y Y1 Y2 ┇ Yn

多元线性回归模型的应用条件Y (1) 与 X 1 , X 2 , , X m 之间具有线性关系。

(2)各例观测值Yi (i 1,2, , n) 相互独立。 (3)残差 e 服从均数为 分布。11

2 0、 方差为

的正态分布， 它等价于对任意

一组自变量 X 1 , X 2 , , X m 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态

Y X X X e Y 0 1 1 2 2 m m样本估计值: …

(1)求偏回归系数 b0 , b1 , b2 , , bm建立回归方程

一 般 步 骤

统计描述

Y b0 b1 X 1 b2 X 2 bm X m(2)对回归方程、各自变量做假设检 验；并评价回归方程的拟合效果和 各自变量的作用大小

统计推断12

二、多元线性回归方程的建立

例15-1: 表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果序号 i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

总胆固醇 (mmol/L) X15.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84

甘油三脂 (mmol/L) X21.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20

胰岛素 (μU/ml) X34.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.3

1 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45

糖化血 红蛋白(%) X48.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6

血糖 (mmol/L) Y11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4

第九章:

Y Y e, Y a bX(9-3)

l XY ( X X )(Y Y ) b 2 l XX (X X )

即：l XX b l XY(9-4)

a Y bX

式中 l XY 为 X 与 Y 的离均差乘积和:

( X )( Y ) l ( X X )(Y Y ) XY (9 5) XY n15

残差平方和: Q (Y Y ) 2 [Y (b b X b X b X )]2 0 1 1 2 2 m m建立方程组

Y

l11b1 l12b2 l1m bm l1Y l b l b l b l 二乘法——残 21 1 22 2 2m m 2Y 差平方和最小) l m1b1 l m 2 b2 l mm bm l mY

原理：最小

b1,b2,…,bm(15-3)

lij ( X i X i )( X j X j ) X i X j l jY ( X j X j )(Y Y ) X jY

X Xi

j

X Y ,j

n

, i , j=1,2, ,m j 1, 2 , m

(15-5) (15-6) (15-4)16

n

b0 Y (b1 X 1 b2 X 2 bm X m )