2chapter4(3)相似矩阵与矩阵对角化的条件

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Chptera4 3)(似相阵与矩阵矩角对化教

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学要求：1. 解相了矩似阵的概念、性及相似对角化的 充质要件条

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一.. 似矩阵的定相义性与质二 . 矩 阵的对化角

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一.相 似阵矩定的与性质

1义. 义定设 A B 都是 n ,方阶 阵, 有若逆矩阵 P可 1

P,

AP 使 B , ,或说矩阵 与 B 相似A. 则称 B 是A的 似相矩

记阵 为A ~B .对 进行运A算P 1

A 称为对 PA 进相似变换 行.,

可逆矩阵P 为称 A把 变成 B的相变似换阵矩

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.2 质性1() ~ A;(A E 1

AE A .)

( 2)若A ~, B则 ~BA; ( 1PAP B , P P

1

B A,即( P

1 1

)

PB

1 A ).

( )3 A ~若B ,B C , ~A则~ C ( ; P Q1 1

PA B , 1

Q1

Q B C 1,

PPQA C , 即 PQ ()A ( PQ) C ).( 4 )P(5) P 1 1

1 A2 AP ( 1 P1AP ) (P 1 2 P ); Ak 11A k 2 A 2P k 1P 1 A1 Pk2 P 12 PA ;其中1k k ,是任2意数常

.

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6() A 若~B ,则 A B; (P 1

PA B B , Pm

1A P P 1

A PA .)

( 7 )A 若 B,~则A ( P B1

mB ;~m

A PB, 1P

A P P 1

1

A PP 1

AP P 1

A

m .P)( 8) 若A ~ , B则A( P 1

~B

11

; P 1

AP B, B

A1

P .)( )9若 A~B ,f则 (A )~ ( B),f其 f为多中式项函; (10数 )A 若~ B, A与B则特的值相同征;

(

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P

A1P B, 1

E B E PP 1 AP P

1PE

1PPA

( EA P) E .A)反之不一定立!成 如1 0 0 1 与 1 0

1 . 11(1 若)A~ d ag i( 1 , ,2 ,n ), 1则, 2, , 是n的n个特征A;值

1 (E A

( 1 ) ( n )

n

令 EA 0 得1 , , n 是 A特的值 .征)ex

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.1如 果 A 可逆 , 证 AB明 与BA相 似.

roPf.

o A 1

(AB ) A BA ,

A B与 B 相似A .

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. 矩阵二的角化对 A 若与对角阵 相 似,即 A ~ , 则 称A可 角化 对

.对n 方阶阵P 1

A, 可找到可逆矩若阵

P 使, A对角 .化AP 为角阵 对 ,这称为把方阵就定理1 .n阶方 A 与对阵阵角相似即 A( 对角能 化)

. A 有n 线个性无关特的征向量Proof . 设A 与 d agi (1 , ,2 , n) 似 ,相则存在可阵逆则 AP P .,P使

1P

AP .把 P其列用向量表示为P

p1 , p 2 , , np .

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1 即 Ap1 , p2 , , p n p 1,p 2 , , p n 2

n 1 p , 1 2 2p, , n p n

.A p , p1 2 , , p n Ap 1, Ap2 , , Apn 1 p 1, 2 p 2 , , n pn 是有于见可Api i pi

i 1 , 2, , n .p i就是

是i A 的征值特

, P 的列向量而 . A的对应特于征值 的i特征量

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向又P 可逆 , P 0. 1 , p 2 , p, p n 线无性 .关

反回去即得充推分性成

.立可 ,见 满足P 1

AP B 的 B 的 最简单形式对为矩角 为列作成构

阵.; P由 A 的n 个线 无关性特征向量 的对矩角 阵 对角的线上元素的

A是的特 值征. 注意P与的 应对法写 结!1论 若.n矩阶A阵n有互个相不的等征值,特则 A对角与相似阵

.

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明 如果说 A特的方程有征根重，此时不定有一n 个 线性无关的特征向量，从矩而阵A 不一定 能 对角，化如但能找到 果n 线个性关的特征无量， A 还是向对角化能.结2. n论阶矩 阵 A对与阵角似A 的相每个特值 征 重 数.

的几何i数等于其代重数结3论 .实称矩对一阵定可对化角.e x2. 设 阶方阵nA 有 n 个特征值 01 , 2 ,, n, 1 且,方阵 B A 相与 ,似求 E B.Soluito.nE B 1 2 3 n n

!e

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x. 3断判下列实矩能否化为阵对角？阵 1 (1 )A 2 22 42 2 4 2 2 (2 ) A 5 1 2 2 4 1 30 2 32

olStiuon.( 1 由 )E A 2 22

1 2

24

2 7 0得 1 2 2 ,3 7 .

将 1 2 2 代 入 E A x 0,有

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1 2E( ) A 2 2 2 44

2 1 4 0 4 0 20 0

2 0 0 1 2 2的几 何数重为

3 (r2E A )3 1 2

= 其代重数数.将 3 7入 代 E A x 0,有

8 (7 E A) 2 2 2 54

2 42 0 0 5 5 1 0

4 1 0

3 7几的何数为重3 r( 7 E) A 1

其代数=重.

数而因可A对角.

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化 2 (2) E A 5 1以 A所的 特征为

值

2 13 1

33

0 2 2 3 1 1.

把 1 入 代 E A x 0 , 有

3 E A 5 1 1的几重数为何1 20

2 1 3 0 0 1

0 011 01

3 r ( E A ) 1 3数重代数 .故 不能A化对角为矩阵.

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4 ex 4 .设A 3 3 6 5 60 A能 否角对？若能对 化 0 ,角 ,化则出求可矩阵P逆 , 使 P 1 PA为对 角阵 1 6 0 . 0 1 2 2Solutoi.n E A 4

3

3 56

1 1 2 1 , 3 .2

所 以 的A部特全

征值为将 1 2 1 代入 E A x 0得方组程系数阵的为

3 (E A ) 3 3 6 6 60 1 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0