矩阵可对角化的充要条件

高等数学 学术论文

文化教育

２００７年（第３６卷）第４期

矩阵可对角化的充要条件

贾秀芹

（青海师范大学数学系，青海西宁

摘要：本文给出矩阵可对角化的一个充要条件，并得到一个结论。

关键字：可逆的对角化维数（ＡＢ）≥秩（Ａ）＋秩（Ｂ）－ｎ．引理：设Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，则秩

定理：设Ａ是实数域Ｆ上的一个ｎ阶矩阵，Ａ的特征根全在Ｆ内，若λ１，λ２，…λｋ是Ａ的全部不同的特征根，其重数分别为ｒ１，ｒ２…ｒｋ，那么

（Ⅰ）可对角化的充要条件是

秩

（１）式成立时，（Ⅱ）当

（!

（１）

８１０００８）

（Ⅱ）设（１）式成立，则Ａ可对角化，故Ａ的极小多项式为（ｘ－λｉ）从而

!

ｉ＝１

ｋ

这就是说，

ｉ≠ｊ

!（

λｉＥ－Ａ）的列空间包含在λｊ的特征子空间

中，但是由（１），

（!

ｉ≠ｊ

λｉＥ－Ａ）的列空间的维数是ｒｊ，它正是λｊ的特征

λｉＥ－Ａ）的列空间就是Ａ的属于

ｉ≠ｊ

特征根λｉ的特征子空间。

证明：（Ⅰ）设Ａ可对角化，则存在可逆阵Ｔ，使

这里右边是分块对角矩阵，Ｅｉ为ｒｊ阶单位阵，于是有

子空间的维数，所以结论（Ⅱ）成立。

推论：设Ａ为实数域Ｆ上的ｎ阶矩阵，Ａ的特征根全为Ｆ内，且λ１，λ２是Ａ的全部不同的特征根，其维数分别为ｒ１，ｒ２，若秩

（λ２Ｅ－Ａ）＝ｒ１，则Ａ可以对角化，且λＥ－Ａ的列向量（λ１Ｅ－Ａ）＝ｒ２，秩

组的极大无关组恰是属于λ２的极大线性无关的特征向量组，λ２Ｅ－Ａ的列向量组的极大无关组恰是属于λ１的极大无关的特征向量组。

上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来，给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方法，在矩阵的不同特征根较少时，这个方法较方便。

例：判断Ａ＝

#

４－３－３６－５－６００１

$

能否对角化，并求特征向量。

解：易知Ａ的特征根λ１＝－２，λ２＝λ３＝１

反之，若秩可得

则反复引用引理

λ１Ｅ－Ａ＝

%

－６３３－６３６００－３

&

和

和λ２Ｅ－Ａ＝

%

－３３３－６６６０００

&

的秩分

别为２与１，故可以对角化。

又因为可以选取

这里用到了齐次线性方程组（λｉＥ－Ａ）Ｘ＝０的解空间的维数不大于λｉ的重数ｒｊ这个结果。

于是有秩

这样，Ａ可以对角化。

０

０１

%&%&

－２１０

为的列空间的一个基，

"

ｉ≠ｊ

秩（λｉＥ－Ａ）＝

"

ｉ≠ｊ

（ｎ－ｒｉ）从而

%&

１－１－１

是属于λ１的特征向量。

参考文献：

【１】张禾瑞．郝新．高等代数（第四版）．高等教育出版社．

【２】同济大学数学系数学专业编．线性代数（第四版）．高等教育出版社．

’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’

（上接１７２页）化现有馆藏的结构，为学生的素质教育奠定必要的物质基础。同时，要充分开发和利用网络免费学术期刊资源，拓展服务内容，缓解经费和馆藏容量的压力，更加方便的服务学生。３．４大力普及图书馆教育

以多种形式、多渠道地宣传、普及图书馆知识。可利用广播、电视、宣传栏、录像、幻灯、讲座、参观、印发小册子等多种形式进

汇报交流、知识竞赛等形式进行图书行宣传、指导，还可用座谈、

馆知识教育。

结合教学实际的读书活动３．５适时开展阅读指导经验交流活动、

认真研究学生关注的热点、焦点问题，有针对性开展学习讲座，培育校园浓厚的学习氛围；配合课堂教学，引导读书活动，深

化专业教育；研究学生的知识结构，根据各系不同学科、不同专业的学生学习实际，有针对性地拓展、补充学生的知识面，完善学生知识结构。

３．６总结经验，不断加强图书馆教育理论的研究

必须加强图书馆教育工作中“教”与“学”的研究，即不仅要研究图书馆教育理论，还要研究读者教育方法、内容、组织管理、教育与人才培养等，通过理论研究指导读者教育工作深入地进行。

参考文献：

【１】王丽荣．浅谈学习型图书馆与馆员的继续教育．图书馆杂志，２００３．１２．【２】彼得 圣吉．学习型组织理论与实务．上海：三联出版社，１９９０．

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