论连续函数的一致连续性

函数的一致连续性

第2 0卷第 3期2 1年 9月 01

河南教育学院学报 (自然科学版 )Ju n l f e a s tt o d ct n ( a rl c n eE i o ) o ra o H n n I t u f u a o N t a S i c dt n n i e E i u e i

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论连续函数的一致连续性田立平，陈昌(京物资学院信息学院，京 1 14 北北 0 1 9)

摘要：出了在不同区间具有不同性质的连续函数的一致连续的充分条件或充要条件 .给 关键词：续函数；致连续函数；分条件；连一充充要条件；调性单中图分类号： 7 01 4文献标识码： A文章编号：0 7— 8 4 2 1 ) 3— 0 1 0 10 0 3 (0 1 0 0 0— 3

函数 . )厂在某区间内的连续性是指它在区间内的每一点都连续， (是一个局部概念，函数在区间的一而致连续是一个整体性质，映的是函数在区间上更强的连续性¨ .于函数一致连续问题的理解与应用不反 J关

仅是一个重点而且是一个难点 .文就有限和无限开区间上的连续函数、有单调性的连续函数、导的本具可连续函数、具有渐进性质的连续函数以及具有周期性质的连续函数给出一致连续的充分条件或充要条件.1有限开区间上连续函数的一致连续性条件

连续函数与一致连续函数在概念上的主要区别在于，续函数定义中存在的 6与区间中不同的点有关，连 亦即不同点处的 6是不同的，由于区间中点的稠密性，般无法找出一个满足所有点处要求的公共的 6这一，

也正是连续函数局部性质的原因.而一致连续概念中存在的艿是公用的，与不同的点没有关系，因而是整体性质.而证明或判断是否一致连续关键看是否能够找到共同的又与不同点没有关系的 6著名的 C n r 因 . at定 o理，函数即 )【,】一致连续的充分必要条件是在。b上 )[,】连续 .中一种典型的证明方法就是在 ab上其用有限覆盖定理 .质就是每一个开覆盖对应

一个占，从有限个开覆盖即从有限个中是能够选出一个 实而

公共的 6的.我们在有限开区间上所给出连续函数的一致连续性条件就是基于如此的考虑.体思路为，具在有限开区间的一个端点处给出极限值这一条件就蕴含着存在一个 6,另一端再给出极限值这一条件，在就蕴含着存在另一个 6,由于在内闭区间上一致连续，在一个公用 6,而存 这样在有限的 6中再找一个公用的 6可以了.面给出结论及其具体证明.就下 结论 1设 f )有限开区问 (, )连续， (在 ( b上一致连续的充要条件是极限 l (在 ab上 f )。, ) i m…+

)

及 l (存在. i f ) a r—

b一

证明 (必要性 )对 V>,3 0当，” ob且 l一” 6时， I( )一 (” 0 6>, ∈(,) l<有，, )J<, V,” 故 E (,)<< 6,”Ⅱ b, n+ 0<<0+时，有 J( )- ( )< . .厂 f j 据 C uh准则知 l acy i m )存在.同理可知 l厂存在 . i ( m. )—

+

6一

(分性 )补充定义 a充 )= l i a r【,]一致连续，以。 b上所

) Ib, ( )= l 厂 i m

)则，

)[,】连续， C no定理，r在在 a b上由 at r J ) (

) (,)一致连续 .在 nb上

推论 1设

)有限区间[,)连续，在。 b上

)[,)一致连续的充要条件是极限 l 在。 b上 i a r

)存在 .

推论 2设结论 2若.

)在有限区间(,】连续， (在 (,】一致连续的充要条件是极限 l n b上， ) n b上 i m)[, 0上连续，l (在。+O) i I )=A有限 )则 m厂 (, )[, O上一致连续.在 o+O)

)在.存

2无限开区间上连续函数的一致连续性条件 证明 1 i厂 )=A,以，寸Vs>0,]△>0, )l a r (所只 当，”>△时，有

收稿日期：0l 2 0一O 9一l 7

基金项目：京市优秀教学团队——“学公共基础系列课程教学团队”目 ( HR 0 9 7 3北数项 P 2 0 0 2 0);京市教改课题“学数

学套北大

餐制教学模式探索与研究”

作者简介：田立平 ( 9 3 )男，北乐亭人，京物资学院信息学院教授， 16一，河北主要研究方向：学物理方程反问题和模型分析及数参数估计方法在信息系统中的应用 .

函数的一致连续性

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河南教育学院学报 (自然科学版 )

2 1生 01

2由 Cno定理， ) atr ”<1 I 6时， 有

l )一” I . )< () 1 )【,在 a△+l上一致连续，】故对此>,。 .当，∈[, 0 j>0 口 a+1,一] I

J )一” f . )<占 () 2 3令 6 m n 16)则，” 0 1一”<时，,” )= i{,,’>, I占 要么同属于[,口△+1,]要么同属于(+ o,△, o)从而由( ) ( ) f )- ( )<即 1、2知 f I, )/+ )在[-∞上一致连续. 7,推论 3若 ) (一 O b上连续，l _ )= (限 )则在 C,】 i厂 a r ( A有， ) (一O,】一致连续.在 0b上

推论 4

) (, o)在口+ O上一致连续的充分条件是

) (, o上连续且 n+)在 a+o)和+ o都存在. o)

推论 5

) (一O, )在 0 b上一致连续的充分条件是

) (一O,)在 0 b上连续且 6一)厂和 (一O) 0都存在 .

3具有渐进性质的连续函数的一致连续性条件结论 3若函数厂 )【, (在 n十∞)连续， l[一 (上且 i , )=】其中 6是非零常数 )则在【,。)~ m 0(, a+。上…∞

致连续.

证明 ( 方法 1 )已知 l[x f ) 0, i b - (=】由柯西收敛准则， m V÷>0, A>口 ,” ,V >A有—

’+∞

二

Ib -(] b一”]<从而有 l ( )一 ( )l I I一 I l ) b】 【x f )一[x/ ) I÷, f f— I b ”≤【/一x一

l”一”I -, ) _”I I一”+要使I I一”<解得 l一”< ax如】< - ) 8或I一( )<I J睾， I睾， I s厂 6I bI ‘二