数学模型之慢跑者与狗

慢跑者与狗

1.问题的提出

一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost, y=20+5sint.突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.

2. 模型建立

设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)).则X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗从(0,0)出发，建立狗的运动轨迹的参数方程:

w dx (10 20cost x) dt22(10 20cost x) (20 15sint y) dyw (20 15sint y)22 dt (10 20cost x) (20 15sint y) x(0) 0, y(0) 0

3. 模型求解

3.1

3.1.1

w=20时,建立m-文件eq3.m如下:

function dy=eq3(t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

3.1.2

再取t0=0,tf=10,输入如下命令：

[t,y]=ode45('eq3',[0,10],[0;0]);

T=0:0.1:2*pi;

X=10+20*cos(T);

Y=20+15*sin(T);

plot(X,Y,'-')

plot(y(:,1),y(:,2),'r*')

相应图形如下图一所示：

1

图1. w=20时小狗与慢跑者的运动轨迹

3.1.3

在3.1.2所示命令中不断修改tf的值，二分法分别取tf=5,2.5,3.75,…,至3.15时，狗刚好追上慢跑者。此时的图像为：

图2. w=20时小狗刚好追上慢跑者的运动轨迹

附：相应程序段如下：

[t,y]=ode45('eq3',[0,3.15],[0;0]);

T=0:0.1:2*pi;

X=10+20*cos(T);

Y=20+15*sin(T);

plot(X,Y,'r*')

plot(X,Y,'b*',y(:,1),y(:,2),'r*')

2

3.2

3.2.1

w=5时,建立m-文件eq4.m如下:

function dy=eq4(t,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);

3.2.2

再取t0=0,tf=10,输入如下命令：

[t,y]=ode45('eq4',[0,10],[0;0]);

T=0:0.1:2*pi;

X=10+20*cos(T);

Y=20+15*sin(T);

plot(X,Y,'b+',y(:,1),y(:,2),'r*')

相应图形如下图三所示：

图3. w=5时小狗与慢跑者的运动轨迹

3.2.3

在3.2.2所示命令中不断修改tf的值，二分法分别取tf=20,40,80,…, 可以看出狗永远追不上上慢跑者。此时的图像为：

注：+椭圆为慢跑者的轨迹，*线为狗的轨迹，随时间增加，狗沿着一个小椭圆奔跑，永远追不上人。

3

图4. w=5时小狗永远追不上慢跑者的运动轨迹

附：相应程序段如下：

[t,y]=ode45('eq4',[0,800],[0;0]);

T=0:0.1:2*pi;

X=10+20*cos(T);

Y=20+15*sin(T);

plot(X,Y,'b+',y(:,1),y(:,2),'r*')

4