广东省2004-2013理科数学数列大题

2004--2013年高考数列题汇总

(2006) 19、(本题14分)已知公比为q(0 q 1)的无穷等比数列 an 各项的和为9，无穷等

2

比数列an各项的和为

81. 5

(I)求数列 an 的首项a1和公比q；

(II)对给定的k(k 1,2,3, ,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak 1的等差数列，求T(2)的前10项之和；

(III)设bi为数列T(k)的第i项，求Sn，并求正整数m(m 1)，使得limSn b1 b2 bn，存在且不等于零.

Sn

n nm

a1

a1 3 1 q 9

解: (Ⅰ)依题意可知, 2 2

q a1 81 3 2 5 1 q

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an 3

3

n 1

,所以数列T

(2)

的的首项为

t1 a2 2,公差

d 2a2 1 3,

1

S10 10 2 10 9 3 155,即数列T(2)的前10项之和为155.

2 2

(Ⅲ) bi=ai i 1 2ai 1 = 2i 1 ai i 1 =3 2i 1

3

n

i 1

i 1 ，

n

Sn4518n 27 2 n n 1 2 n n 1 Sn 45 18n 27 ，limm=limm mmn n 2nn2nn 3 3

当m=2时，lim

SnSn1

=－，当m>2时，=0，所以m=2 lim

n nmn nm2

(2008) 21．（本小题满分12分）

设p，q为实数， ， 是方程x px q 0的两个实根，数列{xn}满足x1 p，

2

x2 p2 q，xn pxn 1 qxn 2（n 3，…）．（1）证明： p， q；（2）4，

求数列{xn}的通项公式； （3）若p 1，q

1

，求{xn}的前n项和Sn． 4

【解析】（1）由求根公式，不妨设

，得

p

，

q

（2）设xn sxn 1 t(xn 1 sxn 2)，则xn (s t)xn 1 stxn 2，由xn pxn 1 qxn 2得 s t p

，

st q

2

s1 ,s2 消去t，得s p由题意可知，s q 0， s是方程x2 px q 0的根， s1 s2 s t p

或 ①当 时，此时方程组 的解记为 t t st q 1 2

xn xn 1 (xn 1 xn 2),xn xn 1 (xn 1 xn 2),

即 xn t1xn 1 、 xn t2xn 1 分别是公比为s1 、s2 的等比数列， 由等比数列性质可得xn xn 1 (x2 x1) 两式相减，得( )xn 1 (x2 x1)

n 2

n 2

,xn xn 1 (x2 x1)

n 2

,

(x2 x1) n 2

x2 p2 q,x1 p， x2 2 2 ，x1

(x2 x1) n 2 2 n 2 n，(x2 x1) n 2 2 n 2 n

n n n 1 n 1 ( )xn 1 ，即 xn 1 ， xn

22

②当 时，即方程x px q 0有重根， p 4q 0，

22

即(s t) 4st 0，得(s t) 0, s t，不妨设s t ，由①可知 xn xn 1 (x2 x1) n 2， ， xn xn 1 (x2 x1) n 2 n

xxn 1xnxn 1nn

即 xn xn 1 ，等式两边同时除以 ，得n，即 1 n 1 1 nn 1n

x

数列{nn是以1为公差的等差数列，

xx2 nn 1 (n 1) 1 n 1 n 1, xn n n n

n 1 n 1

,( )

综上所述，xn

n n n,( )

11122

（3）把p 1，q 代入x px q 0，得x x 0，解得

442

11

xn n ()n ()n

22

n

n

111 1111 1

Sn () ()2 ()3 ... ()n () 2 ()2 3 ()3 ... n ()n

222 2222 2

1111 1

1 ()n () 2 ()2 3 ()3 ... n ()n

2222 21111 1 ()n 2 ()n 1 n()n 3 (n 3)()n

2222

(2009)已知曲线Cn:x2 2nx y2 0(n 1,2, )．从点P( 1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn 0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．

（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

（２）证明：x1 x3 x5 x2n 1

2

2

x

n yn

2

2

2

21.（1）解：曲线Cn:x 2nx y 0(n 1,2, )可化为(x n) y n， 所以，它表示以Cn(n,0)为圆心，以n 为半径的圆， 切线ln的方程为y kn(x 1)，

y kn(x 1)

联立 2，消去y 整理，得2

x 2nx y 0

222

(1 kn)x2 (2kn 2n)x kn 0，①

(2kn 2n) 4kn(1 kn) 4n 4(2n 1)kn，kn 0 令 0，解得kn

2

2

2

2

2

2

2

n2 ， kn 2n 1

n2n 1

n22n2n22

)x ( 2n)x 0 此时，方程①化为(1

2n 12n 12n 1

n2

整理，得 (n 1)x n 0，解得xx ，

n 1

nnn

所以 yn ( 1) 2n 1

n 12n 1n 1

n

∴数列{xn}的通项公式为xx

n 1n

数列{yn}的通项公式为yn 2n 1。

n 1n1

xn1 （２）证明：∵，

n1 xn2n 11

n 1

2n 1

2n

∴

(2n 1)2

4n2(2n 1)2

4n2 1

2n 1

2n 1

x1 x3 x5 x2n 1

1352n 11352n 1 2462n3572n 1

xn1

==

1 xn2n 1

∵

xn

yn

12n 1

=

xn

，又0 1 xn

12n 1

13

4

xn x，则0 x ， yn4

xx

要证明n 2sinn，只需证明当0 x 时，x 2sinx恒成立即可。

ynyn4

令

设函数f(x) x 2sinx，0 x 则f (x) 1 2cosx，0 x ∵ 在区间 0,∴当0 x

4

4

上f (x) 1 2cosx为增函数， 4

4

时，f (x) 1 2cosx 1 2cos

4

0，

∴f(x) x 2sinx在区间 0,

上为单调递减函数， 4

∴ f(x) x sinx f(0) 0对于一切0 x ∴ x

4

很成立，

2sinx，即

1 xnxnx

2sinn

=

1 xnynyn

x

n yn

综上，得x1 x3 x5 x2n 1

(2011)．（本小题满分14分）

设b>0,数列{an}满足a1 b,an

nban 1

(n 2)．

an 1 2n 2

n 1b

（1）求数列{an}的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数n,an n 1 1．

2

(2013) 19.（本小题满分14分）

设数列 an 的前n项和为Sn。已知a1 1,（1）求a2的值；

（2）求数列 an 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

2Sn12

an 1 n2 n ,n N*。 n33

1117 。 a1a2an4

解：（1）令n=1，解得 …… 此处隐藏：1311字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……