姓名：沈乃录//张磬兰//陈焕铭| :陈育宁著作者简介：作品：《数学物理方法/宁夏大学十一五教材建设丛书》 目录 第一篇??复变函数论方法第一章??复数的基本概念??§1.1.1??复数及其运算??§1.1.2??无穷远点

习 题

1. 求下列方程的通解：

(1)uxx 2uxy 3uyy 0； (2)uxx 2uxy 3uyy 0； (3)3uxx 5uxy 2uyy 3ux uy 2； (4)xuxx 2xyu(5)xuxx 2xyu(7)

x

(x

2

2

xy

yuyy xux yuy 0；

3yuyy 0；(6)uxy 2ux 3uy 6u 2e u y

22

2

22x y

xy

；

u x

) ；提示：令u(x,y)

1x

v(x,y).

2. 求解下列初值问题： utt a2uxx(1) |x|

u(x,0) e, u(x,0) 2t

utt a2uxx

1 (2)

u(x,0) 2 u(x,0) cosx,t

1 x

2

utt a2(uxx ux)(3) x u(x,0) (x),ut(x,0) (x)

3. 求解下列定解问题： (1)

utt 4uxx xt

(2) 22

u(x,0) 4xu(x,0) x,u(x,0) x,u(x,o) x tt

utt uxx 6

utt uxx ex utt uxx sinx

(3) (4)

u(x,0) sinx,u(x,0) 0t u(x,0) sinx,

ut(x,0) x cosx

姓名：沈乃录//张磬兰//陈焕铭| :陈育宁著作者简介：作品：《数学物理方法/宁夏大学十一五教材建设丛书》 目录 第一篇??复变函数论方法第一章??复数的基本概念??§1.1.1??复数及其运算??§1.1.2??无穷远点

utt a2uxx sin t utt a2uxx sin x

(5) (6)

u(x,0) 0,ut(x,0) 0 u(x,0) 0,ut(x,0) 0

4. 求解下列定解问题： uxy ux 0

(1)、

u|y x sinx,

x

uxx uyy 2ux 2uy 0 (2)

ux|y x 1uy|y 0 0 u|y 0 x,

uxx uyy 2ux 2uy 4

(3)

u| y,u| y 1xx 0 x 0

(4)

uxy yux xu u|y 3x 0,

y

xyu 0

5x

2

uy|y 3x e

(x 1)

1

xuxx uyy ux 0(5) 2

uy|y 0 0, u|y 0 x,

(x 0)

2 2

(y 0) yuxy uyy uy 0,

(6) y u|y 1 1 x,uy|y 1 3

5. 求解下列初值问题：

utt a2(uxx uyy uzz) utt a2(uxx uyy uzz)(1) (2) 223

u| y,u| zu| x yz,u| 0tt 0tt 0 t 0 t 0 utt 8(uxx uyy uzz) x2t2 utt uxx uyy 2(3) (4) 22

ut|t 0 yut|t 0 z u|t 0 x, u|t 0 y, utt 2(uxx uyy)

(5) 22

u|t 0 2x y,

ut|t 0 2x y

22

姓名：沈乃录//张磬兰//陈焕铭| :陈育宁著作者简介：作品：《数学物理方法/宁夏大学十一五教材建设丛书》 目录 第一篇??复变函数论方法第一章??复数的基本概念??§1.1.1??复数及其运算??§1.1.2??无穷远点

(x 0,t 0) utt 4uxx 6xt,

3

ut|t 0 0,x 0 (6) u|t 0 x,

u| t3,(t 0) t 0(x 0,t 0) utt 9uxx 2, 32

ut|t 0 9x (7) u|t 0 x x,

(u u)| t2 1

xx 0

6. 求解下列古尔沙问题：

2uxx 2uyy ux uy 0

(1) x

u| 1,u| (x 1)e,y xy x

2uxx uxy uyy ux uy 0,(2)

u|1 1 u|y x 3x 1,y x

2

4uxx 5uxy uyy 18

2(3) u| x,u|x x y x

y 4

(y |x|)( 12

x y x,x 0)

utt uxx

(4)

u|t x (x),

u|t x (x)

其中 (x), (x)为充分光滑的已知函数，且 (0) (0). uxx 3uxt 4utt ux ut 0(5) x

u|t x 1 u|t 4x 5x e,