信号与系统_甘俊英

信号与系统

1-1 已知信号f(t)的波形如图1-1所示，画出f(1 2t)的波形。答案

f(

图1-1 信号f(t)的波形

1-2 计算下列各式。答案 （1） （3）

(t 2)sin (t 3)dt （2） e 2t (t )dt

0

1

(t 3)edt （4） 0 '(t)

j t

sin2t

t t

1-3 设系统的输入和输出信号分别为f(t)， f(k)及y(t)，y(k)，判断下列各系统是：①线性的；②时不变的；③因果的；④稳定的。答案

（1） y(t) ef(t) （2） y(t) (cost) f(t)

f(k) (k 1)

（3）y(k) 0 (k 0)

f(k 1) (k 0)

1-4 已知f(t)，为求f(t0 at)应按下列哪种运算求得正确结果？（式中t0,a都为正值）

答案

（1）f( at)左移t0 （2）f(at)右移t0 （3）f(at)左移

t0t （4）f( at)右移0 aa

1-5 应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。答案

（1）

f(t t0) (t)dt （2）

f(t0 t) (t)dt

t0

（3） (t t0)u(t )dt （4） (t t0)u(t 2t0)dt

2

（5）（7）

t

(t sint) (t )dt (e t) (t 2)dt （6）

6

e j t[ (t) (t t0)]dt （8） (3t2 1) (t)dt

1

2

（9）

(t cos t) (t 1)dt （10）

0

k

e

3kt

(t k)dt

1-1 解：

信号波形变换为信号分析中的一个难点，通常的方法是对给定的信号波形用反折、时移、尺度变换3种运算按不同的排列顺序依次进行变换。如反折→时移→尺度变换，反折→尺度变换→时移等6种变换方法。但不管哪一种变换方法都容易出现错误。在这里介绍一种简单可靠的方法，很容易得到变换后的波形且准确无误。具体步聚如下：

（1）对给定信号的自变量用t表示，变换后信号的自变量用x表示，则本例中的对应自变量为f(t)、f(1 2x)。

（2）令括号的变量相等，即1 2x t，解出x

1

(1 t)。 2

1t 1x 0；，；2

（3）给定不同的t值，求出相应的x值，当然最好用已知波形的特殊点所对应的t值。如果用拐点处的t求x，则x对应于变换后波形的拐点。即t 0，x

t 2，x 1。

2

（4）找到各

x值处的信号值。x 1处的值为对应于t 0处的值，即

2

x 0

f(x)f(x)

x

f(tt 0 0；x 0处的值为f(x)

t 2

f(t)

t 1

1。同理，

x 2

f(t) 1。

'

'

'

各点值对应于图中的a、b、c、d各点。

（5）按给定的信号波形变化规律依次连接变换后的信号各x值的信号值，即得到变换后的波形。图1（a）中a b c d对应于图1（b）中a b c d。

（6）需特别注意冲激信号的尺度变换，因为冲激信号的尺度变换对应着冲激强度的变化，即 (at)

'

'

'

'

'

1

(t)。 a

（7）最后令x t恢复原自变量，如图1（b）所示。

f(

(a)

图1 波形变换的过程

1-2 解： （1）（2）（3）

(t 2)sin (t 3)dt (t 2)sin ( 1)dt sin

0 1

e (t )dt e

j t

2t 2

e 2 (t 0)

0 (t )dt

0 (t 0)

10

(t 3)e

dt e

j 3

(t 3)dt 0

（4）

0

'(t)

sin2t sin2tsin2tdsin2t

t (t) ()' (t)dt ()

00tttdtt

t 0

1-3 解：

（1）y(t) ef(t)

2cos2t t sin2t

t2

t 0

0

① y1(t) ef1(t)，y2(t) ef2(t)，y1(t) y2(t) ef1(t) ef2(t) e[f1(t) f2(t)]，所以该系统是非线性系统。

② y(t t0) ef(t t0)，所以该系统是时不变的。

③y(t)与f(t)有关，与f(t t0)无关(t0 0)，所以该系统是因果的。 ④ 假设f(t)是有界的，f(t) M，则对应的输出y(t) e系统是稳定的。

（2）y(t) (cost) f(t)

① y1(t) cost f1(t)，y2(t) cost f2(t)，y1(t) y2(t) cost [f1(t) f2(t)]，所以该系统是线性系统。

② y(t t0) cos(t t0) f(t t0) cost f(t t0)，所以该系统是时变的。 ③ y(t)与f(t t0)无关(t0 0)，所以该系统是因果的。

④ 若f(t)是有界的，即f(t) M，则对应的输出y(t) cost f(t) f(t) M，所以该系统是稳定的。

f(t)

eM也是有界的，所以该

f(k) (k 1)

（3）y(k) 0 (k 0)

f(k 1) (k 0)

f1(k) f2(k) (k 1)

①y1(k) y2(k) 0 (k 0)

f(k 1) f(k 1) (k 0)

2 1

所以，该系统是线性的。

②当输入为f(k k0)时，输出为

f(k k0) (k 1)

yk0 0 (k 0)

f(k k 1) (k 0)

0 1

yk0 y(k k0)，所以该系统是时不变的。

③ 因为y(k)与f(k 1) (k 0)有关，所以该系统是非因果的。 ④ 若f(k)有界，则y(k)也有界，所以该系统是稳定的。

1-4 解：

（1）因为f( at)左移t0，得f[ a(t t0)] f( at t0)，所以不能采用这种运算。

（2）因为f(at)右移t0，得f[a(t t0)] f(at at0) f( at t0)，所以不能采用这种运算。

（3）因为f(at)左移种运算。

（4）因为f( at)右移

1-5 解：

tt0

，得f[a(t 0)] f(at t0) f( at t0)，所以不能采用这

aa