2015年高三数学 专题19 分类讨论思想课件 理

专题19

分类讨论思想

分类讨论思想思想方法概述

热点分类突破

真题与押题

思想方法概述 1. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 .其基本思

路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问

题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综

合性问题 ) 分解为小问题( 或基础性问题 ) ,优化解题思路，降低问题难度.

2.分类讨论的常见类型

(1) 由数学概念引起的分类讨论 . 有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

(2) 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 . 有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件

下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等.

(3) 由数学运算要求引起的分类讨论 .如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的

要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.

(4) 由图形的不确定性引起的分类讨论 . 有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、 线、面的位置关系等.

(5) 由参数的变化引起的分类讨论 . 某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值

不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

(6) 由实际意义引起的讨论 .此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.

3.分类讨论的原则

(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.

(3) 能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.

4.解分类问题的步骤

(1) 确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.

(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.

(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.

热点分类突破

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由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 由图形位置或形状引起的讨论 由参数引起的分类讨论

热点一

由数学概念、性质、运算引起的分类讨论

2 x +x,x<0, 例 1 (1)(2014· 浙江)设函数 f(x)= 2 -x ,x≥0,

若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是________.

解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时，得 a≤ 2.

答案 a≤ 2

3 9 (2)在等比数列{an}中，已知 a3= ,S3= ,则 a1= 2 2 ________.3 解析 当 q=1 时，a1=a2=a3= , 2 9 S3=3a1= ,显然成立； 2 2 3 a1q =a3= , 2 当 q≠1 时，由题

意，得 3 9 a1 1-q =S3= . 2 1- q

a q2=3, 1 2 所以 9 2 a1 1+q+q = , 22

① ②

1+q+q 2 由①②,得 =3,即 2q -q-1=0, 2 q 1 所以 q=- 或 q=1(舍去). 2 1 a3 3 当 q=- 时，a1= 2=6.综上可知，a1= 或 a1=6. 2 2 q 3 答案 或 6 2

(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵 与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论思 维 非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算 升 华 中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负

有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为

数，三角函数的定义域等.

变式训练1

log2 x+1 ,x>3, (1)已知函数 f(x)= x-3 满足 f(a)=3, 2 +1, x≤3

则 f(a-5)的值为( A.log23 17 B. 16

) 3 C. 2 D.1

解析

a≤3 分 两 种 情 况 分 析 ， a-3 ①或者 2 +1=3

a>3 ②,①无解，由②得，a=7, log2 a+1 =3

3 所以 f(a-5)=2 +1= ,故选 C. 22-3

答案

C