球面距离(沪教版)

球面距离

球面距离

球面距离

定义：球面上，两点 球面上， 球面上 之间的最短连线的长 之间的最短连线的长 度，就是经过这两点 的大圆在这两点之间 劣弧的长度， 的劣弧的长度，我们 把这个弧长叫做两点 球面距离. 的球面距离

A

B

αO

一般地：球面距离 一般地：球面距离L=αR (α称为球心角) 称为球心角

球面距离

1.已知A,B是半径为3的球面上 1.已知A 是半径为3 已知 两点，且AB= 3 3 ,求A,B两 两点， 点的球面距离. 点的球面距离.解： 在 ABO中， OA = OB = 3, AB = 3 3

A

OA 2 + OB 2 AB 2 ∴ cos∠AOB = 2OA OB 1 ∴ cos∠AOB = 2 2π ∠AOB = 3 2π A, B的球面距离为 R 3

B O

球面距离

2.设地球的半径为R 2.设地球的半径为R, 设地球的半径为O O

若甲地位于北纬60 东经120 若甲地位于北纬60 ,东经120 ;乙地位 O O 于南纬15 东经120 求甲、 于南纬15 度，东经120 ,求甲、乙两地 的球面距离。 的球面距离。

回顾： 回顾：经度与纬度

球面距离

纬度： 纬度： P的纬度是指球半径 和赤道平面所成的角度. 的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度 的纬度是指球半径 和赤道平面所成的角度.

P

A

纬度是线面角

球面距离

经度： 经度： 经过P点的经线与地轴确 经过 点的经线与地轴确 定的半平面和 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 所成的二面角的度数 的度数) (即∠AOB的度数) 的度数

Q

M

PO

A

B

经度是二面角

球面距离

二.应用举例1.位于同一经线上两点的球面距离

线上，纬度分别为北纬 3 o和 6 o 例1. 求东经 5 o 8 7线上， 8 的两地A 的两地 ，B的球面距离. 的球面距离. (设地球半径为 设地球半径为R). 设地球半径为 N 解 Q ∠ O ∠EOA = EBB A O E

∠AOB, 又 Q ∠EOB =68o ∠EOA =38o , ∴ AOB = ∠

赤道

S

∴l = R π = π R 6 6 ∴ A ,B的球面距离为

30 ,根据 l = R αo

πR6

球面距离

练习： 练习： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 上海的位置约为东 北纬31 台北的位置约为东经1210,北纬 0, 北纬25 北纬 北纬 经1210,北纬 0,台北的位置约为东经 求两个城市间的距离。 求两个城市间的距离。

Q 海 台 在 一 线 ， 上 与 北 同 经 上 ∴ 们 同 个 圆 他 在 一 大 上

AO

o ∴ A B 3 o 2 o =6 ∠O = 1 5

B Q =6 7 r 316 A 的 长 2 6 7 B 弧 = π 31 30 6

球面距离

2.位于同一纬线上两点的球面距离 位于同一纬线上两点的球面距离

已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬 度 两点均位于北纬45度 例2.已知地球半径为 已知地球半径为 、 两点均位于北纬 线上， 在东经30度 在东经120度。 线上，点A在东经 度，点B在东经 在东经 在东经 度 在北纬45度圈上劣弧 的长度; 求(1)在北纬 度圈上劣弧 AB 的长度 在北纬 (2) 求经过 、B两地的球面距离？ 求经过A、 两地的球

面距离 两地的球面距离？ (1)解：在 BOO1中， m ∠OO1 B = 90° = R, O , OB1

2 OO 5 , B 1 R . ∠ B 1 =4 °∴ O= 2

A O

B

∴纬线圈中AB 的长度为π 22 . R= π R 2 2 4

球面距离

(2) 求经过 、B两地球面距离？ 求经过A、 两地球面距离 两地球面距离？

( ) B 1 , ∠ O =9 ° 2 在A O Q A 1B 0, 中

∴ B=R 在A B , A , O中Q O O =A =R A = B B πR ∴ A B=6 ° l 3 ∠O 0∴=∴ A、B两地的球面距离为 、 两地的球面距离为A

mO1

B O

πR3

.

球面距离

练习： 练习： 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 北京的位置约为东 北纬40 纽约的位置约为西经74 北纬 北纬40 北纬 经1160,北纬 0,纽约的位置约为西经 0,北纬 0, 求两个城市间的距离。 求两个城市间的距离。 o∠ O =∠ O =4 , AC BD 0 ∠ O =3 0 1 6 +7 o)=1 0 C D 6o (1o 4 7o 由 弦 理 得 余 定 ， :O1

A

BD

A 2 =C 2 =O 2 +O 2 B D C D 2 C O c s∠ O , O Do ∠ D s C O 2 +O 2 A 2 A B B c s∠ O = o AB , 2 O O A B 其 O =O =6 7 , 中A B 3 1 O =O =6 7 c s4 o C D 31o 0

C O

∴o ∠ O ≈ .1 4 A B≈9 .4 o cs A B 0 67 ∠O 9 8 9 .4 9 8 ∴ B 弧 =2 6 7 A 的 长 π 31 30 6

球面距离

三、小结 1.两种形式的球面距离的求解 两种形式的球面距离的求解(1).位于同一经线上两点的球面距离

方法： 方法：直接代公式 (2).位于同一纬线上两点的球面距离 位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角， 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。 为弧度，最后代公式。

2.球面距离公式 l = R α 球面距离公式